SÉRIES DE FOURIER ET FONCTIONS DE BESSEL - COURS SUR LES SUITES ET SÉRIES - Mathématiques

SÉRIES DE FOURIER

COURS SUR LES SUITES ET SÉRIES

1. Suites
1.1. Suites arithmétiques
1.2. Suites harmoniques
1.3. Suites géométriques
1.4. Suites de Cauchy
1.5. Suite de Fibonacci
2. Séries
2.1. Séries de Gauss
2.1.1. Nombres et polynômes de Bernoulli
2.2. Séries arithmétiques
2.3. Séries géométriques
2.3.1. Fonction zêta et identité d'Euler
2.4. Séries de Taylor et MacLaurin
2.4.1. Séries de Taylor de fonctions à 2 variables réelles
2.4.2. Reste de Lagrange
2.5. Séries de Fourier
2.5.1. Coefficients de Fourier
2.5.2. Puissance d'un signal
2.5.3. Transformée de Fourier
2.6. Fonctions de Bessel
2.6.1. Fonction de Bessel d'ordre zéro
2.6.2. Fonction de Bessel d'ordre N
2.6.3. Fonction de Bessel-Neumann du second type d'ordre zéro
2.6.4. Équation différentielle de Bessel d'ordre N
3. Critères de convergence
3.1. Test de l'intégrale
3.2. Règle d'Alembert
3.3. Règle de Cauchy
3.4. Théorème de Leibniz
3.5. Convergence absolue
3.6. Théorème du point fixe

Nous appelons par définition "série trigonométrique" une série de la forme:

  (11.162)

ou sous une forme plus compacte:

  (11.163)

Les constantes sont les coefficients de la série trigonométrique plus souvent nommés "coefficients de Fourier".

Remarque: Nous avions déjà fait mention de ce type de série lors de notre étude des types de polynômes existants puisque les séries de Fourier ne sont au fait que des polynômes trigonométriques. (cf. chapitre de Calcul Algébrique). Par ailleurs, nous avons vu comme exemple dans le chapitre d'Analyse Fonctionnelle lors de notre étude du produit scalaire fonctionnel que les fonctions sinus et cosinus constituaient les bases d'un espace vectoriel.

Si la série converge, sa somme est une fonction périodique f(x) de période  , étant donné que sin(nx) et cos(nx) sont des fonctions périodiques de période  . De sorte que:

    (11.164)

Posons maintenant le problème suivant : Nous nous donnons une fonction connue, périodique quelconque f(x) continue par morceaux de période . Nous demandons s'il existe une série trigonométrique convergeant vers f(x) moyennant des conditions sur cette série.
Supposons maintenant que la fonction f(x), périodique et de période , puisse être effectivement représentée par une série trigonométrique convergent vers f(x) dans l'intervalle [0, T], c'est-à-dire qu'elle soit la somme de cette série:

  (11.165)

Supposons que l'intégrale de la fonction du premier membre de cette égalité soit égale à la somme des intégrales des termes de la série ci-dessus. Ceci aura lieu, par exemple, si nous supposons que la série trigonométrique proposée converge absolument, c'est-à-dire que la série numérique suivante converge (de par la propriété bornée des fonctions trigonométriques):

  (11.166)

La série:

    (11.167)

est alors majorable et peut être intégrée terme à terme de 0 à T (où ) ce qui nous permet de déterminer les différents coefficients de Fourier. Mais avant de commencer exposons les intégrales suivantes qui nous très seront utiles par la suite:

                 (11.168)

                         Avec  et                      Avec  et 
Avant de continuer, démontrons la valeur que prennent ces six intégrales (suite à la demande des internautes). Mais d'abord, rappelons que comme alors et
1. Nous procédons en utilisant les relations trigonométriques remarquables (cf. chapitre de Trigonométrie) et les primitives des fonctions trigonométriques élémentaires (cf. chapitre de calcul Différentiel Et Intégral):

  (11.169)

car comme nous l'avons vu en trigonométrie et comme , les deux différences précédentes ont tous les termes qui sont nuls tel que:

  (11.170)

2. Pour la deuxième intégrale, nous procédons selon les mêmes techniques et mêmes propriétés des fonctions trigonométriques:

  (11.171)

3. Et nous continuons ainsi pour la troisième, toujours selon les mêmes propriétés:

  (11.172)

4. Encore une fois selon les mêmes méthodes (cela devient routinier...) pour d'abord:

  (11.173)

et pour il vient immédiatement:

  (11.174)

5. Encore une fois... (bientôt au bout...) pour d'abord:

  (11.175)

et pour il vient immédiatement:

  (11.176)

6. Et enfin la dernière (...):

  (11.177)

Ce petit travail fait, revenons maintenant à nos moutons... Pour déterminer les coefficients multiplions les deux membres de l'égalité:

  (11.178)

par :

  (11.179)

La série du second membre de l'égalité est majorable, étant donné que ses termes ne sont pas supérieurs en valeur absolue aux termes de la série positive convergente. Nous pouvons donc l'intégrer terme à terme sur tout segment borné de 0 à T :

  (11.180)

Nous avons démontré plus haut que quelque soient les valeurs entières que prennent k ou n le deuxième terme de la paranthèse est toujours nul. Il ne reste alors plus que:

  (11.181)

Or, nous avons démontré plus haut que l'intégrale à droite est toujours nulle si n et k sont différents. Il ne reste alors que le cas où n et k sont égaux. C'est-à-dire:

  (11.182)

Dans cette situation, nous avons d'abord le cas particulier k où est nul. Dans ce cas:

  (11.183)

Soit:

  (11.184)

Il est évident que le coefficient  représente donc la moyenne du signal ou la composante continue si elle existe.

Dans le cas où k n'est pas nul, nous avons:

  (11.185)

D'où nous tirons:

  (11.186)

Pour déterminer les coefficients nous procédons de la même manière mais en mulitpliant cette fois-ci les deux membres de l'égalité par :

  (11.187)

La série du second membre de l'égalité est majorable, étant donné que ses termes ne sont pas supérieurs en valeurs absolues aux termes de la série positive convergente. Nous pouvons donc l'intégrer terme à terme sur tout segment borné de 0 à T :

    (11.188)

Nous avons démontré plus haut que quelque soient les valeurs entières que prennent k ou n le premier terme de la paranthèse est toujours nul. Il ne reste alors plus que:

  (11.189)

Or, nous avons démontré plus haut que l'intégrale à droite est toujours nulle si n et k sont différents. Il ne reste alors que le cas où n et k sont égaux. C'est-à-dire:

  (11.190)

Dans cette situation, nous avons d'abord le cas particulier k où est nul. Mais nous voyons de suite que nous avons une division par zéro. Il vaut mieux alors considérer le cas général d'où nous tirons

D'où nous tirons aisément que:

  (11.191)

Dès lors, pour la situation où k est nul le coefficient est alors nul!
Donc finalement les coefficients de Fourier sont donc déterminés par les intégrales:

             (11.192)

Mais comme c'est embêtant d'avoir trois résultats pour les coefficients nous allons jouer un peu avec la définition de la série de Fourier.
Effectivement en sommant de 1 à l'infini plutôt que de 0 à l'infini nous avons :

  (11.193)

Ce qui permet alors de n'avoir qu'à se rappeler de ( inclus donc!) :

       (11.194)

Les physiciens ont eux pour habitude de noter ces relations sous la forme suivante :

  (11.195)

Cette décomposition possible de toute fonction périodique continue par morceaux approchée par une somme infinie de fonctions trigonométriques (sinus ou cosinus) consistant en une fonction fondamentale et ses harmoniques est appelé "théorème de Fourier" ou encore "théorème de Fourier-Dirichlet".

  (11.196) Source : Mathworld

La série de Fourier permet donc implicitement de représenter toutes les fréquences contenues dans un signal périodique dont la fonction est connue mathématiquement. On se demande bien pourquoi parler des séries de Fourier quand, dans la pratique, nous ne connaissons pas vraiment la représentation mathématique de ce signal? Cela nous amènera à mieux comprendre le concept de la transformée de Fourier à temps discret (DTFT), que nous verrons un peu plus loin, qui n'a nul besoin d'une représentation mathématique d'un signal continu échantillonné dans le temps.

Nous constatons par ailleurs que si f(x), soit la fonction périodique dont nous cherchons l'expression en série trigonométrique de Fourier, est paire alors la série devra être paire aussi et donc ne comporter que des termes en cosinus (le cosinus étant pour rappel une fonction paire) ce qui implique que  et dans le cas contraire d'une fonction impaire  (le sinus étant pour rappel une fonction impaire)!

Il convient de noter, et c'est important pour la suite, que comme nous l'avons vu dans le chapitre de Calcul Algébrique lors de notre étude des polynômes trigonométriques, que les séries de Fourier pouvaient donc s'écrire sous la forme complexe suivante (en changeant un peu les notations et en passant la somme à l'infini):

  (11.197)

et nous avions vus que:

  (11.198)

Soit:

  (11.199)

Ce qui nous donne:

  (11.200)

Exemple:

E1. Lors de la décomposition d'un signal continu, nous disons abusivement que les coefficients  représentent chacun (implicitement) une fréquence distincte associée à une amplitude que nous visualisons sur un graphique par des lignes verticales. Ce graphique représente le spectre en fréquence du signal décomposé. Nous pouvons également adjoindre une autre représentation qui se nomme "spectre de phase". Ce spectre nous donne la phase du signal harmonique (en avance ou en retard de phase).

  (11.201)

Voyons maintenant comment décomposer un signal périodique connu en plusieurs signaux d'amplitudes et de fréquences distinctes.
Prenons comme exemple, un signal à onde carrée périodique défini sur une période T=2 et d'amplitude A tel que:

  (11.202)

A la période T=2 correspond comme nous le savons une pulsation:

  (11.203)

Calculons en premier lieu les coefficients  à l'aide de l'intégrale permettant de déterminer ces coefficients (le choix des bornes de l'intégrale supposent donc que le signal est périodique par construction!):

  (11.204)

En prenant k = 2, nous avons:

  (11.205)

De même pour k = 4,6,8 ainsi que tout nombre pair.
Pour ce qui est des nombres impairs, nous aurons:

  (11.206)

Les coefficients seront alors:

  (11.207)

Il y a un seul hic dans cette relation, le coefficient  ne peut être calculé selon cette relation car on peut voir que si k = 0 dans le résultat ci-haut, nous aurons une valeur infinie et c'est du moins impossible. Le coefficient est soit nul ou non nul mais jamais infini.
Pour trouver le coefficient , nous devons calculer l'intégrale pour k=0. Le coefficient est alors déterminé par:

  (11.208)

Le spectre en "fréquence" (attention à l'abus de langage) et en amplitude sera alors de la forme suivante pour  et  les fréquences nulles n'étant pas représentées:

  (11.209)

L'abus de parler de fréquence pour les coefficients de Fourier amène dont à avoir des fréquences négatives... mais ce n'est qu'une question de vocabulaire auquel il faut s'habituer.
Le spectre d'amplitude et de phase se calcule selon les relations:

  (11.210)

Il est alors relativement aisé de remarquer que si T tend vers un nombre de plus en plus grand, les pics du spectre se rapprochent de plus en plus. Ainsi, lorsque T tend vers l'infini le spectre devient continu.
Le spectre de phase donnera ce qui suit pour les valeurs impaires:

  (11.211)

Il est même possible pour l'exemple d'obtenir très facilement le spectre des fréquences dans MS Excel !!!
Effectivement, il suffit pour cela d'échantillonner par exemple notre signal 128 fois (MS Excel a besoin de  échantillons). Nous divisons alors l'intervalle  en 64 échantillons et idem pour l'intervalle :

Tableau: 11.2  - Echantillonage Signal

Ce qui donne sous forme graphique:

  (11.212)

Ensuite, il suffit d'aller dans le menu Outils/Utilitaire d'analyse et choisir l'option Analyse de Fourier:

  (11.213)

Vient ensuite la boîte de dialogue suivante qu'il faut remplir comme indiqué:

  (11.214)

Vient alors le résultant suivant pour les coefficients le tableau suivant:

Tableau: 11.3  - Coefficients de Fourier

Il reste à calculer le module des nombres complexes avec la fonction MODULE.COMPLEXE( ) de MS Excel et de diviser le résultat par 128 pour chacun des coefficients  mais nous voyons déjà que chaque coefficient pair est nul ce qui correspond bien au résultat théorique.
Nous avons alors en mettant l'indice n en face de chaque module:

Tableau: 11.4  - Module coefficients complexes

En en traçant un graphique MS Excel à points un peu personnalisé des colonnes D et E, nous obtenons finalement:

  (11.215)

E2. Prenons un autre exemple identique au précédent mais sous une autre approche. Nous définissons une fonction périodique de période  comme suit:

  (11.216)

Calculons les coefficients de Fourier:

  (11.217)

et:

  (11.218)

Nous remarquons que  vaut 0 pour n pair et vaut  pour n impair.
La série de Fourier de la fonction considérée s'écrit donc:

  (11.219)

Ce qui en Maple s'écrit:
S:=(4/Pi)*Sum(sin((2*n+1)*x)/(2*n+1),n=0..N);
et que nous pouvons tracer à l'aide de la fonction:
plot({subs(N=4,S),subs(N=8,S),subs(N=16,S)},x=-Pi..Pi,color=[red,green,blue],numpoints=200);
Ce qui donne trois traces pour 4, 8 et 16 termes de la série en rouge, vert et bleu:

  (11.220)

Pour 50 termes nous obtenons:
> plot(subs(N=50,S),x=-Pi..Pi,numpoints=800);

  (11.221)

Nous voyons les effets de bord appelés "phénomène de Gibbs". Il est possible de montrer avec pas mal de développements que ceux-ci arrivent à la valeur de l'abscisse correspondant à  et que le dépassement et que le pic va à 1.179 pour toute valeur de n.

PUISSANCE D'UN SIGNAL

Un signal périodique possède une énergie infinie et une puissance moyenne nulle (cf. chapitre d'Électrocinétique). Sa puissance moyenne sur une période est alors définie par:

  (11.222)

Si nous développons cette équation, nous avons:

  (11.223)

Cela signifie que la puissance d'un signal à temps continu périodique est égale à la somme des coefficients de Fourier au carré. C'est ce que l'on nomme le "théorème de Parseval". Cela signifie que si nous avons un signal quelconque que nous pouvons décomposer en série de Fourier, nous pouvons connaître la puissance de ce signal uniquement à l'aide des coefficients spectraux.
Dans la réalité, comme nous ne pouvons déterminer mathématiquement l'expression de ce signal, nous utilisons la discrétisation ou l'échantillonnage et ensuite à l'aide d'une transformée de Fourier discrète, nous pouvons calculer la puissance de ce signal en utilisant uniquement les coefficients spectraux. Cela nous donne une caractéristique du signal.

TRANSFORMÉE DE FOURIER

Les séries de Fourier sont un outil très puissant pour l'analyse de signaux périodiques par exemple, mais l'ensemble des fonctions périodiques est petit comparé à l'ensemble des fonctions que nous rencontrons dans les problèmes physiques. Ainsi, nous allons introduire un nouvel outil d'analyse extrêmement puissant qui s'étend à une classe de fonctions plus générale.
La transformée de Fourier est ainsi utilisée autant pour les signaux périodiques que pour les signaux apériodiques.
Pour cela, nous repartons de notre étude sur les séries de Fourier en notation complexe d'une fonction périodique de période T quelconque et nous faisons tendre .
Ainsi, reprenons les expressions démontrées avant:

  (11.224)

que nous pouvons écrire de manière équivalente sous la forme:

  (11.225)

et écrivons encore cela pour des besoins ultérieurs sous la forme suivante:

  (11.226)

et posons:

  (11.227)

Ainsi, quand ,  nous passons de valeur discrète à valeur continue qui parcourt l'ensemble des réels (pour tous les k). Donc de:

  (11.228)

nous passons à la limite soit:

  (11.229)

et obtenons ainsi pour les coefficients (nous changeons de notation car l'ancienne est inadaptée):

  (11.230)

et pour la série infinie:

  (11.231)

Attention!!! Pour faire la différence entre la fonction donnée et son équivalent dont nous cherchons l'expression en somme infinie, nous les noterons dorénavant différemment. Ainsi, il vient:

  (11.232)

Définitions:
D1. Nous appelons "transformée de Fourier" de f  la relation:

  (11.233)

D2. Nous appelons "transformée de Fourier inverse" de F la relation:

  (11.234)

Remarque: Il existe de nombreuses manière d'écrire la transformée de Fourier en fonction du choix de la valeur initiale de T .

Certains physiciens préfèrent symétriser ces deux expressions en mettant le même coefficient dans les deux sens, qui sera par exemple . Cela donnera:

  (11.235)

Donnons également la forme tridimensionnelle qui nous servira de nombreuses fois en mécanique ondulatoire, électrodynamique, optique ondulatoire ou encore dans les divers chapitres de physique quantique:

  (11.236)

Pour que les choses soient peut-être plus claires, montrons de manière générale que la transformée de Fourier  précédemment écrite est une isométrie (conserve la norme).
Remarquons tout d'abord que pour tout f, g nous avons le produit scalaire fonctionnel:

  (11.237)

Mais puisque les fonctions sont dans l'espace des complexes, comme nous l'avons vu dans le chapitre de calcul vectoriel, nous devons alors utiliser la notation du produit hermitien:

  (11.238)

Rappelons quand même que:

  (11.239)

Démonstration:
D'abord, nous avons donc:

  (11.240)

Mais les variables à intégrer doivent être les mêmes et pour que  soit implicitement dépendant de  il faut donc prendre la transforme de Fourier en . Tel que:

  (11.241)

Ainsi:

  (11.242)

Soit en utilisant le théorème de Fubini (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

  (11.243)

A l'aide de ce résultat, nous avons donc démontré que:

  (11.244)

Nous n'avons pas précisé les bornes :elles sont infinies dans chaque définition (nous intégrons sur tous les  ou  possibles).

C.Q.F.D.

Voyons maintenant deux propriétés intéressantes de la transformée de Fourier:
P1. Si f est paire, il vient une simplification de la transformée telle que:

  (11.245)

P2. Si f est impaire, nous procédons de la même manière que ci-dessus et nous obtenons:

  (11.246)

Remarque: La branche de "l'analyse harmonique", ou "analyse de Fourier 2D", est la branche des mathématiques qui étudie la représentation des fonctions ou des signaux comme superposition d'ondes de base. Elle approfondit et généralise les notions de série de Fourier et de transformée de Fourier. Les ondes de base s'appellent les harmoniques, d'où le nom de la discipline. Durant ces deux derniers siècles, elle a eu de nombreuses applications en physiques sous le nom d'analyse spectrale, et connaît des applications récentes notamment en traitement des signaux, mécanique quantique, neurosciences, stratigraphie, statistiques...

Exemple:
Voyons donc un exemple (parmi les deux fondamentaux) d'une transformée de Fourier que nous retrouvons en physique quantique aussi bien qu'en optique ondulatoire.
Nous allons calculer la transformée de Fourier de la fonction suivante:

  (11.247)

Nous avons donc:

  (11.248)

où sinc est le sinus cardinal. Nous retombons donc sur le sinus cardinal (si nous prenons le module au carré) de la décomposition d'une onde monochromatique diffractée par une fente rectangulaire. Ainsi, il semble  possible d'étudier les phénomènes de diffraction en utilisant la transformée de Fourier et ce domaine se nomme "l'optique de Fourier".

SÉRIES DE BESSEL

Les fonctions de Bessel sont très utiles dans de nombreux domaines de pointe de la physique faisant intervenir des équations différentielles délicates à résoudre. Les domaines dans lesquelles nous les trouvons le plus souvent sont la calorimétrie (conduction de la chaleur), la physique nucléaire (physique de réacteurs), et la mécanique des fluides.
Ces séries sont cependant très peu détaillées dans les écoles universitaires et il est souvent du rôle de l'élève de chercher les compléments d'informations dont il a besoin sur le sujet dans la bibliothèque de son école. Nous avons voulu présenter  ici les développements permettant d'éviter cette démarche tout en restant chez soi devant son ordinateur (de plus les livres sur le sujet sont assez rares...).

Remarque: Nous parlons habituellement par abus de langage des "fonctions de Bessel" au lieu des "séries de Bessel".

Il existe une quantité non négligeable de fonctions de Bessel mais nous allons nous restreindre à l'étude de celles qui sont les plus utilisées en physique.

FONCTION DE BESSEL D'ORDRE ZÉRO

La fonction connue sous le nom de "fonction de Bessel d'ordre zéro", est définie par la série de puissances:

  (11.249)

C'est lors de l'étude des propriétés de dérivation et d'intégration que Bessel a trouvé que cette série de puissance est une solution à une équation différentielle que l'on retrouve assez fréquemment en physique. C'est pourquoi elle porte son nom.
Si  représente le r-ème terme de la série, nous voyons aisément que:

  (11.250)

qui tend vers zéro quand , quelque soit la valeur de x. Cela a pour conséquence que la série converge pour toutes les valeurs de x. Comme il s'agit d'une série de puissance positive, la fonction  et toutes ses dérivées sont continues pour toutes valeurs de x, réelles ou complexes.

FONCTION DE BESSEL D'ORDRE N

La fonction , connue sous le nom de "fonction de Bessel d'ordre n", est définie, lorsque n est un entier positif, par la série de puissance:

  (11.251)

qui converge pour toutes valeurs de x, réelles ou complexes.

  (11.252)

En particulier, pour  nous avons:

  (11.253)

et quand :

  (11.254)

Nous pouvons noter que  est une fonction paire de x quand n est paire, et impaire quand n est impaire (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle).
En dérivant la fonction et en comparant le résultat avec la série , nous voyons sans trop de peine que:

  (11.255)

Nous trouvons également sans trop de difficulté, la relation suivante:

  (11.256)

En utilisant le fait que:

     (11.257)

et en l'incluant dans la précédente relation, nous trouvons:

  (11.258)

ou écrit autrement:

  (11.259)

 est donc une solution de l'équation différentielle du second ordre:

  (11.260)

ou écrit autrement:

      (11.261)

ou encore:

  (11.262)

Une solution à une équation de Bessel de paramètre n qui n'est pas un multiple de  est appelé "fonction de Bessel du second type". Supposons que u est une telle fonction et posons ; alors d'après la relation:

  (11.263)

nous avons:

 et   (11.264)

En multipliant la première relation  par v et la seconde par u et après soustraction, nous obtenons:

  (11.265)

nous avons donc également:

  (11.266)

nous pouvons donc écrire:

  (11.267)

effectivement car si nous développons, nous trouvons:

  (11.268)

Pour que l'égalité:

    (11.269)

soit satisfaite, nous avons:

  (11.270)

En divisant par , nous avons:

  (11.271)

ce qui est équivalent à:

  (11.272)

de suite, par intégration il vient:

  (11.273)

où A est une constante. Consécutivement nous avons, puisque :

  (11.274)

où rappelons-le, A et B sont des constantes, et si u n'est pas un multiple de par définition.
Si dans la dernière relation,  est remplacé par son expression en termes de série nous avons:

  (11.275)

dès lors:

  (11.276)

consécutivement si nous posons:

  (11.277)

où  est une fonction de Bessel particulière du second type appelée "fonction de Bessel-Neumann du second type d'ordre nul".
Identiquement au fait que  quand , l'expression  à cause du terme quand x est petit tend vers  quand .
Finalement, il vient de ce que nous avons vu précédemment que  et sont des solutions indépendantes de l'équation différentielle:

  (11.278)

La solution générale étant donc:

  (11.279)

où A,B sont des constantes arbitraires et  afin que soit réel.
Si nous remplaçons x par kx, où k est une constante, l'équation différentielle devient:

  (11.280)

en multipliant le tout par , nous trouvons la forme générale de l'équation différentielle:

  (11.281)

dont la solution générale est:

  (11.282)

où  afin que soit réel quand .
Au fait, les fonctions de Bessel viennent des solutions de l'équation différentielle étudiée précédemment et solutionnées par la méthode de Frobenius. Posons:

  (11.283)

et faisons la substitution:

  (11.284)

en substituant dans Ly, nous obtenons:

  (11.285)

Choisissons maintenant les afin de satisfaire l'équation différentielle tel que:

  (11.286)

Dès lors, à moins que  soit un entier négatif, nous avons:

  (11.287)

En substituant ces valeurs dans la relation:

  (11.288)

nous obtenons:

  (11.289)

dès lors:

  (11.290)

si nous posons  dans l'avant-dernière relation, nous obtenons:

  (11.291)

ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DE BESSEL D'ORDRE N

Nous avons défini les séries de Bessel comme étant :

  (11.292)

Posons :

  (11.293)

et dérivons ainsi :

  (11.294)

Mais nous avons aussi :

  (11.295)

Par soustraction :

  (11.296)

Ce qui donne finalement :

  (11.297)

Ce qui s'écrit également :

  (11.298)

Qui est appelé "l'équation différentielle de Bessel d'ordre n" ou plus simplement "équation de Bessel". Au fait, la plupart des écoles ou sites Internet donnent cette équation différentielle comme une définition et pourtant il est clair qu'il y a raisonnement rigoureux derrière cette équation.
La solution est donc du type :

  (11.299)

ce qui s'écrit encore parfois en utilisant la fonction gamma d'Euler :

  (11.300)

Il s'ensuite que :

  (11.301)

et donc que est solution de cette équation différentielle.

3. Critères de convergence

  

  - contenu en provenance du site sciences.ch et http://mathematique.coursgratuits.net