Modélisation cinématique des liaisons -Cours Mécanique
I. Contact entre solides
I.1. Géométrie des contacts
Le contact entre deux solides peut être soit surfacique dans le cas où la surface de contact est importante (plane, cylindrique, sphérique, conique, …), soit linéique ou ponctuel lorsque le contact se fait selon une petite surface.
M est un point de la surface (S).
π est le plan tangent aux solides 1 et 2, en M.
est la normale en M au plan π, extérieure au solide 2.Exemples de contacts :
Contact plan/cylindre : linéaire rectiligne ;
Contact plan/plan : surfacique plan ;
Contact cylindre/sphère : linéaire annulaire ;
Contact cylindre / cylindre : surfacique cylindrique ;
Contact sphère /sphère : surfacique sphérique.
I.2. Repère local
En général, le repère local associé à un contact entre deux solides n'appartient à aucun des deux solides.
De plus, l'origine sera plutôt placée en un point caractéristique du contact et les vecteurs directeurs de sa base correspondent dans la mesure du possible à des axes de symétrie, de révolution, ...
Enfin, il sera choisi de sorte que les mouvements élémentaires soient indépendants.
I.3. Degré de mobilité
Soit
le repère local, associé au contact entre deux solides 1 et 2.Le degré de mobilité associé au contact entre deux solides, est le nombre de mouvements élémentaires indépendants qu’il autorise.
Au maximum, ce nombre est égal à 6 :
o 3 translations Tx, Ty, Tz ;
o 3 rotations Rx, Ry, Rz.
Le degré de liaison est au contraire le nombre de mouvements élémentaires indépendants que le contact interdit.
Remarque : déplacements et petits déplacements
Dans le guidage d’un solide par rapport à un autre, certains mouvements peuvent se faire avec de fortes amplitudes, et d’autres sont dus uniquement à la présence de jeux fonctionnels, de déformations de solides, ….
Biens que petits, ces déplacements sont d’une importance capitale car ils peuvent permettre un montage plus aisé, des tolérances de fabrication plus importantes, des actions mécaniques amoindries, …
La longueur de guidage est grande devant le diamètre de l’ajustement.
Les deux mouvements de rotation et translation sont toujours possibles.
On dit alors qu’il peut « rotuler » (3 mobilités angulaires), en plus de la translation.
Sans faire le calcul analytique, on voit que pour un jeu j et un diamètre D
donnés, l’angle γ pourra être d’autant plus important, que L est faible
Dans le cas où L>1,5×D, on a pour habitude de négliger ces petits déplacements.
Notons que si j est important (dans la pratique, ce n’est pas le cas), l’axe 2 pourrait même translater de façon non négligeable, transversalement à son axe.
Prenons le cas d’un roulement à billes.
Entre la bague intérieure et la bague extérieure, il y a principalement un déplacement angulaire possible, autour de l’axe du roulement.
Pourtant, les constructeurs annoncent des angles de rotulage pouvant aller jusqu’à 4 ° dans certains cas.
En fait, ces petits déplacements angulaires, autorisent des flexions de l’arbre à guider, des défauts d’alignement, …
Dans la mesure où l’on n’arrive pas en butée de ces petits mouvements, ils devront donc être pris en compte dans la modélisation des liaisons.
I.4. Cinématique du contact ponctuel entre deux solides
Soient deux solides 1 et 2, en contact modélisé comme ponctuel en I, et (π) le plan tangent commun en I aux deux
solides, de normale
. Le torseur cinématique du mouvement de 2 par rapport à 1,
a. Vecteur vitesse de glissement
Le vecteur vitesse de glissement au point I dans le mouvement de 2 par rapport à 1, est
Pour un maintien du contact, il est situé dans le plan (π) et
De plus, on a la relation de composition des vecteurs vitesses au point I : 
b. Vecteurs vitesse de rotation de roulement et de pivotement
II. Liaisons normalisées entre solides
Lorsqu’un solide est en contact avec un autre solide, on dit qu’ils sont liés.
Parmi toutes les liaisons envisageables, l'afnor (Association Française de NORmalisation) a retenu les plus courantes, et les a normalisées.
Ces liaisons sont supposées géométriquement parfaites, sans jeu et sans frottements.
III. Mécanismes
Un mécanisme est un ensemble de solides liés entre eux par des liaisons, dans le but de réaliser une ouplusieurs fonctions.
Exemple : pompe "5 pistons" CITROËN :
III.1. Structure d’une chaîne de solides : graphe des liaisons
Une classe d'équivalence (ou sous-ensemble fonctionnel), est constituée de solides appartenant à un mécanisme et répondant à la relation d'équivalence "sans mouvement relatif".
Ces solides peuvent être en liaison encastrement les uns aux autres, mais ce n'est pas une obligation.
En phase de fonctionnement normal, de maintenance, de réglage, …, un mécanisme peut avoir des sous-ensembles fonctionnels différents.
L'ensemble des classes d'équivalence d'un mécanisme doit être représentatif de celui-ci.
Toutefois, les éléments d'assemblage (vis, écrou, clavette, goupille,...), les pièces déformables (ressorts,...), les éléments de roulements, ..., ne sont en général, pas pris en compte.
En ne prenant en compte qu'un piston, les différentes classes d’équivalence renumérotées, sont les
suivantes : corps=0 ; arbre=1 ; piston=2 ; plateau=3 .
Un graphe de structure (ou graphe des liaisons), est un graphe représentant les différentes classes d'équivalence (ce sont les noeuds) reliés entre eux par des traits matérialisant les liaisons.
On y ajoute aussi le nom des différentes liaisons ainsi que leurs caractéristiques géométriques.
Exemple : pompe CITROËN « 5 pistons »
III.2. Chaînes ouvertes - fermées - complexes
a. Chaînes ouvertes
Un mécanisme à chaîne ouverte de solides est, le plus souvent, un robot.
Le premier solide étant le bâti et le dernier l'élément de préhension ou pince.
Le graphe de structure d’une chaîne ouverte présente l’allure suivante :
b. Chaînes fermées
Le graphe de structure présente la forme suivante :
c. Chaînes complexes
Une chaîne complexe est constituée de plusieurs boucles fermées appelées cycles.
IV. Liaisons cinématiquement équivalentes
Afin de réduire le nombre de liaisons dans un mécanisme, on peut être amené lors d'une approche cinématique à chercher des liaisons fictives équivalentes à un ensemble de liaisons réelles.
Cette recherche peut se faire analytiquement ou intuitivement.
Deux cas peuvent alors se présenter selon que les liaisons sont en série ou en parallèle.
IV.1. Liaisons en série
La relation de composition des vitesses en écrivant tous les torseurs au même point, permet de déterminer
le torseur cinématique de la liaison équivalente :
IV.2. Liaisons en parallèle
La compatibilité cinématique des n liaisons en parallèle avec la liaison équivalente, s'exprime par une identité des composantes de tous ces torseurs réduits au même point :
Exemple : pompe CITROËN « 5 pistons »
Dans le graphe de structure non simplifié, on a en parallèle une liaison rotule, avec une liaison sphère /
cylindre.
Intuitivement, la liaison équivalente est une liaison pivot d’axe
Analytiquement, on peut écrire :
On peut alors écrire l’allure du torseur cinématique de la liaison équivalente :
.Par suite, voici le graphe de structure simplifié : 
V. Schéma cinématique
Le schéma cinématique est une représentation plane ou spatiale, simplifiée, du mécanisme, utilisant les symboles normalisés des liaisons entre solides.
C'est un outil de communication technique, un préalable à tout calcul de mécanique.
Le schéma cinématique minimal (fonctionnel) est le schéma qui permet la description des liaisons entre les sous-ensembles cinématiquement équivalents.
Le schéma d'architecture permet de calculer les actions mécaniques dans les liaisons élémentaires associées en série ou en parallèle.
Il peut donc exister plusieurs schémas cinématiques d'un même mécanisme selon l'étude envisagée.
Exemple : pompe CITROËN « 5 pistons »
VI. Fermeture de la chaîne cinématique
VI.1. Relations entre les paramètres géométriques
On est souvent amené à rechercher des relations entre les paramètres géométriques d’un mécanisme
(dimensionnels ou angulaires).
Notamment la loi "entrée - sortie" est la relation entre les paramètres de position de la pièce d'entrée (mouvements pilotes) et les paramètres de position de la pièce de sortie du mécanisme.
Dans l'exemple de la pompe CITROËN, la pièce d'entrée est l'arbre et la pièce de sortie est le piston.
La loi "entrée - sortie" s'obtient en exprimant la fermeture géométrique de chacune des chaînes fermées ou cycles du graphe de structure du mécanisme.
Pour chaque cycle, on obtient deux relations vectorielles :
-l'une, caractérise les positions relatives des points caractéristiques des liaisons.
-l'autre, caractérise les orientations relatives des bases associées à chaque liaison.
Dans le cas de mécanisme plan, toutes les rotations relatives se font suivant une seule direction et on obtient une relation scalaire du type
(fermeture angulaire). Dans le cas d’un mécanisme plan, la fermeture géométrique donnera :
• 2 équations scalaires de fermeture dimensionnelle ;
• 1 équation scalaire de fermeture angulaire,
Soient au total 3 équations scalaires pour un cycle.
Il faut dont au moins 4 degrés de liberté cumulés dans les différentes liaisons (soient 4 paramètres variables), pour que le mécanisme soit mobile, et que l’on puisse trouver une loi entrée / sortie.
Dans le cas d'un mécanisme spatial, le nombre d’équations peut aller jusqu’à 6, pour un cycle.
Pour déterminer une loi entrée / sortie, on préfère alors traduire que la valeur d'un angle est constant (souvent l'orthogonalité) entre deux vecteurs de base, imposé par certaines liaisons, par l'intermédiaire d'un produit scalaire.
Les relations sont alors du type
Enfin, on sera quelques fois amené à simplifier un mécanisme, c’est à dire à négliger certaines mobilités, afin de proposer une modélisation plane, et simplifier les calculs.
VI.2. Relations entre les vitesses
Pour obtenir des relations entre les vitesses, il est possible de dériver les équations issues de la fermeture géométrique.
Il est aussi possible d’utiliser la composition des torseurs cinématiques.
Pour chaque cycle du graphe de structure, on peut écrire une relation du type :
