Décharge d'une sphère chargée Equations de Maxwell - Solution de l'Exercice - Electromagnétisme
ne dépend que de r et de t et que le champ magnétique 
est nul.
Tout plan contenant la droite OM est plan de symétrie pour la répartition de charges, par conséquent :
On raisonne en coordonnées sphériques
pour le champ magnétique : par raison de symétrie, le champ magnétique
doit être à la fois porté par 
et 
: il est donc nul.
et
: il est donc nul.
2- Calculer
et en déduire 
.
et en déduire
.
Le théorème de Gauss appliqué à la sphère de centre O et de rayon r donne :
On en déduit :
3- A l aide d'une équation de Maxwell, déterminer une équation différentielle en Q(t).
La résoudre et donner le temps caractéristique de décharge.
On utilise l'équation de Maxwell-Ampère, avec un champ magnétique nul :
Avec :
Il vient :
Ainsi :
4- Retrouver cette équation et le temps caractéristique en utilisant un bilan d'énergie électromagnétique.
Un bilan d'énergie donne, au niveau local :
Soit :
D'où :
On retrouve ainsi l'équation précédente :
