Nappe chargée uniformément en surface - La solution d'exercice - Exercices corrigés d'életrostatique

a) Variable dont dépend et sa direction

La nappe chargée en surface est contenue dans le plan (xOy) comme le montre la figure 1. 

* La plan chargé est invariant par translations suivant Ox et Oy. Le système des coordonnées le plus adapté au calcul de est le système cartésien de base . Le champ est indépendant de x et y :

 

* Le plan passant par M et perpendiculaire à (Ox) est un psp (plan de symétrie pair. 
* Le plan passant par M et perpendiculaire à (Oy) est un psp (plan de symétrie  

De plus, le plan chargé xOy étant un plan de symétrie paire, le champ en un point M’ symétrique de M par rapport à ce plan est :

b) Calcul du champ électrostatique

Tenant compte de la  symétrie de la distribution plane  de charge, nous choisissons comme surface fermée Σ le  parallélépipède  droit, dont les génératrices sont  normales au plan chargé, fermé par deux sections droites notées Σ₁ et Σ₂ d’aire S, passant respectivement par M(x, y, z) et par M’(x, y, -z) le symétrique de M par rapport au plan xOy (figure 2). 

Le flux sortant de la surface latérale Σ₁ du cylindre est nul, car en tout point de Σ₁,  

Le flux sortant de Σ se réduit au flux sortant de Σ₁ et Σ₂ : 

 La charge à l’intérieure de la surface de Gauss est : 

D’après le théorème de Gauss : 

Ces deux résultats peuvent être condensés sous la forme : 

Ce résultat peut être retrouvé en  choisissant comme surface de Gauss  Σ la surface fermée formé par le cylindre droit, dont les génératrices sont normales au plan chargé, fermé par deux sections droites d’aire S, passant par M(x, y, z) et par M’(x, y, -z).
Le champ change de sens à la traversée de la nappe chargée et subit une discontinuité égale à  0 /  σ/ε₀  (figure 3). 

En réalité, il n’existe pas de distribution plane de dimensions  infinies. Cependant, la distribution plane est considérée comme infinie si on ne considère que des points placés loin des bords de la distribution, c’est à dire des points dont la distance à la surface chargée est petite par rapport aux dimensions de celle-ci.

c) Calcul du potentiel électrostatique V(M)

  En choisissant l’origine des potentiels dans le plan xOy : V(z=0)=0  

A la traversée du plan chargé, le potentiel y est continu (figure 4). 

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