Exercices Corrigés d'Analyse II

Exercice 1 :

Soit a un réel,

continue, dérivable sur

et telle que

Montrer qu'il existe un réel

tel que

(Considérer la fonction

sur

). Application : Une statue de hauteur s est sur un piédestal de hauteur p par rapport au sol. On l'observe d'une hauteur h < p.

1- Faire un dessin.

2- A quelle distance d faut-il se placer pour voir la statue sous un angle maximum ?

∎ Voir La solution

Exercice 2.

Soit f la fonction réelle :

Montrer par récurrence sur n :

Ou Pn est un polynôme. En déduire que f est indéfiniment dérivable sur R. Soit la fonction

définie par :

1- Montre que g admet un développement limité à tout ordre au voisinage de 0.

2- La fonction g est-elle indéfiniment dérivable sur R ?

∎ Voir La solution

Exercice 3.

Soit f la fonction définie sur IR par :

1- Montrer que f est une fonction dérivable et impaire sur IR..

2- Établir que pour tout

3- Étudier le sens des variations de la fonction

4- Montrer que f est une bijection de R sur R.

5- En admettant que f est indéfiniment dérivable au voisinage de 0, déterminer le développement limité de

(fonction réciproque de f ) à l'ordre 5 au voisinage de 0.

∎ Voir La solution

Exercice 4 :

Pour

on considère l'intégrale indéfinie :

1- Montrer que

converge si et seulement si

. Pour la convergence en 0, on utilise le résultat du cours sur l'intégrale de Bertrand :

converge si et seulement si

2- En effectuant deux changements de variables successives :

, montrer que

∎ Voir La solution

Exercice 5 :

On considère l'équation différentielle du second ordre à coefficients non constants :

Si y est une fonction sur R, pour

on pose

ou tan est la fonction tangente.

1- Montrer que y est solution de (E) si et seulement si z est solution de l'équation différentielle du second ordre à coefficients constants :

2- Déterminer la solution générale z de (E’) et en déduire toutes les solutions y de (E).

3- Déterminer la solution f de (E ) telle que f(0) = 0 et f’(0) = 1

∎ Voir La solution

Exercice 6 :

On considère toutes les boites de conserve ayant la forme d'un cylindre de révolution de hauteur h et de base un disque de rayon R ( des canettes à boisson par exemple ). Déterminer celles dont la surface a une aire minimum et un volume V fixé à l'avance ( ce sont celles qui économisent au maximum le métal, en négligeant les problèmes de sertissage i.e d'assemblage des pièces de métal ). On rappelle le volume et la surface d'une boite de conserve :