La solution d'exercice 2 - Exercices Corrigés d'Analyse II

Si :    Supposons que

Alors

  Par suite

Donc toutes les dérivées au point 0 existent et sont nulles. Par suite f se prolonge de manière  en 0 at f est donc indéfiniment dérivable sur R. De plus au voisinage de 0 f admet des développement limités de tout ordre :

donc au voisinage de 0 :

Donc g admet un développement limité à tout ordre au voisinage de 0. De plus g est indéfiniment dérivable sur R* et

Mais la dérivée g’ de g n'est pas continue en 0 car

qui n'a pas de limite _nie en 0. Ainsi g admet un développement limité à tout ordre et g’  n'admet de développement limité à aucun ordre i.e g ne peut être de classe  sur IR.

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