La solution d'exercice 3 - Exercices Corrigés d'Analyse II

1- Montrons que f est dérivable en 0. En effet

la fonction f est trivialement impaire.

2- Un calcul simple donne

3- Le signe de f’(x) est le même que celui de la fonction . Cette dernière est dérivable et

Donc h’ (x) est du même signe que x. Ainsi, h est strictement décroissante sur et strictement croissante sur . Puisque h(0) = 0, on en déduit que h est h est strictement positive sur IR* et aussi f’ est strictement positive sur R_. Or f’ (0) = 1 > 0, par suite f’(x) > 0 pour tout . en conclut que f est strictement croissante sur R. de plus

Donc   par parité. D'après le théorème de la fonction réciproque f est une application bijective de R sur R et f􀀀1 est aussi continue.

4- Comme f est de classe  au voisinage de 0 et que , alors  et de classe  au voisinage de f(0) = 0, donc admet des développement limités de tous ordre. Par ailleurs la fonctions f est impaire, donc  est également impaire. La fonction  admet donc un développement limité au voisinage de 0 de la forme :

On détermine a; b et c : puisque

On a

par suite

Et

Or

D'ou

D'autre par . Ainsi, par unicité du développement limité, on obtient le système :

d'où l'on tire b = -1/2 et c = 7/12. On a finalement

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