La solution d'exercice 7 - Exercices Corrigés d'Analyse II
1-Pour montrer que pour tout
:


Il suffit de remarquer que

et donc

2- Les fonctions
sont continues sur [0; 1]. On note G et H leurs primitives respectives qui s'annulent en 0.

Comme les fonctions
sont a valeurs dans [0; 1], les fonctions
sont bien définies sur R, donc
est bien définie.



3- Puisque les fonctions u et v sont paires et π-périodiques, la fonction
l'est aussi.

4- Puisque
est paire et π-périodiques, il suffit de l'étudier sur le segment [0; π /2]. Puisque


et les fonctions G;H; u et v sont dérivables alors _ est dérivable sur [0; π /2] et

Or pour
et donc
De même
donc pour tout
on a





On en déduit que
est constante sur [0; π /2], puis sur [-π /2; 0] par parité, et enfin sur R par périodicité. Par suite


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