Les arbres de transmission - Mécanique

Plan

·       Qu’est ce qu’un arbre?

·       Montage des arbres

·       Choix d’un arbre

1.    Choix de matériaux

2.    Choix de diamètre

·       Critère basé sur résistance

-  code ASME

-  Théorie de cisaillement maximal

-  Théorie de Van Mises-Hencky

·       Critères de rigidité

·       Vitesses critique de rotation

Qu'est-ce qu'un arbre ?

Un arbre, c'est une pièce ...

-         rotative ou fixe, normalement de section circulaire.

-          qui supporte des éléments de transmission de puissance ou de mouvement (engrenages, poulies,ect

 Un arbre  porte les noms suivants :

·        arbre de transmission

·        arbre de renvoi

·        essieu   

Montage des arbres:

·       Les arbre de machines servent le plus  souvent  a transmettre le puissance par l’intermédiaire des éléments ( engrenage ,poulie, cames,..) tous ces éléments doivent êtres monter sur l’arbre , il existe plusieurs types de montage voici les plus utilisés :

·       Montage a clavette

·       Montage a cannelure

·       Montage a force et a retrait

    conception d’un arbre

-         Choix de matériaux

-         Choix de diamètre

les critères de choix du matériau sont les suivants :

·       Propriétés mécaniques

·       Disponibilité

·        coût

·       ………

·       Fonction : transmettre de la puissance longtemps et à bon coût.

Choix de diamètre

Critères de conception d’arbres:

·        Conception basée sur la résistance

·        Conception basée sur la rigidité

·        Conception basée sur la vitesse

Les étapes de conception basée sur la résistance

·       1. Calculer les réactions

·       2. Calculer la répartition des couples de torsion

·       3. Calculer la répartition des moments de flexion dans les

·       plans vertical (Mv) et horizontal (Mh)

·       4. Calculer la répartition du moment de flexion résultant (M)

·       5. Calculer la répartition des forces axiales

·       6.déterminer la section critique

·       7.calculer le diamètre nécessaire pour résister aux charges de la section critique

Conception basée sur la résistance

Trois approches présentées :

·       1. Approche du code ASME.

·       2. Théorie du cisaillement maximal (code Westinghouse).

·       3. Théorie de Von Mises-Hencky (méthode VMHG).

Code ASME

Le calcule de la contrainte maximale de cisaillement  basé sur le cercle de mohr:

Le ASME définit la contrainte admissible comme étant la plus petite des deux valeurs suivantes :

Théorie du cisaillement maximal (code Westinghouse):

·       Basée sur le critère de Tresca et la ligne de Soderberg en fatigue.

·       Prend en charge les valeurs moyenne et alternée des contraintes.

·       Composante moyenne

·       Composante alternée

Code Westinghouse (cas général)

·       Ta et Ma - composantes variables

·       Tm et Mm - composantes statiques (moyennes)

Théorie de Von Mises-Hencky (méthode VMHG):

·       Basée sur le critère de Von Mises et la ligne de Goodman en fatigue.

·       Un arbre en rotation est soumis à :

·               des contraintes de flexion variables  causées  par un moment constant

·             des contraintes de cisaillement variables  causées par un couple variable

·           des contraintes axiales causées par une charge axiale constante

Procédure pour la méthode VMHG:

·       Identifier les sollicitations sur l’arbre et calculer la valeur approximative de d (code ASME, par exemple).

·        Calculer les composantes statiques et variables des contraintes résultantes.

·       Calculer les contraintes de Von Mises σm’ et σa’.

·        Appliquer l’équation de conception de Goodman.

·        Calculer le FS (vérification) ou d (conception).

·        Répéter les calculs (1 à 5) en cas de besoin.

ةquations générales pour la méthode VMHG:

Critères de rigiditè :

·       La rigidité d’un arbre dépend :

du diamètre (d) de l’arbre

                du module de Young (E) du matériau

·       Les arbres sont généralement fait d’acier

·        Tous les aciers ont à peu près le même E

     Le diamètre de l’arbre détermine la rigidité

Déformation latérale :

·       Pour les arbres de transmission la flèche maximale doit être   < 0,08 % de la portée entre les supports .

·       Pour les arbres de renvoi la flèche maximale doit être < 0,015 % de la portée entre les supports .

·       Aussi la variation de flèche de part et d’autre d’un engrenage doit être < 0,005 %  .

Méthode de calcul de la déformation latérale :

·       La méthode des moments d’air est basée sur deux théorèmes :

1^er thèoreme :

        La différence de pente φ_AB entre deux points A et B sur une poutre est égale à la surface au-dessous du diagramme M/EI entre les points A et B.

Voici la formule de différence de pente:

2^ème thèoreme :

      La flèche tangentielle mesurée verticalement entre un point A sur la poutre et la tangente au point B (∆_AB) est égale au premier moment de surface sous le diagramme M/EI par rapport à A.

·       Ce 2éme théorème nous permet de calculer la flèche tangentielle entre la poutre déformée et la tangente a un point donné choisit  judicieusement entre l’ensemble  des points appartenant a la poutre.

Déformation en torsion :

·       Pour les arbres de transmission l’angle de torsion doit être  < 1°   sur une distance égale a 20 fois le diamètre de l’arbre .

·       Pour les arbres de renvoi l’angle de torsion doit être :

·                < 0,3° par mètre de longueur(charges constantes)

·                 < 0,15° par mètre de longueur(charges subites).

·       On rappele que la formule relative a la dèformation angulaire θ  d’un arbre est :

Avec :    T - couple de torsion appliquè a l’arbre .

              L - longueur de l’arbre.

              G - module de cisaillement.

               J - module d’inertie polaire de la section .

Vitesses critiques de rotation:

C’est la fréquence naturelle de vibrations latérales ou de vibrations de torsion de l’arbre. A de faibles vitesse de rotation , le premier mode est toujours le plus inquiétant. Les autres fréquences de résonance sont des multiples de la fréquence naturelle. A de plus grandes vitesses,