Filtres passifs exercices corrigés - Circuits électriques

Exercice 1

 Un générateur, non représenté, applique au montage une tension  ;  le montage applique la tension à un appareil non représenté équivalent à une résistance infinie.

 1) Calculer la fonction de transfert complexe H = v_s/v_e en fonction de R, L, C et ω.

 2) Montrer que l’on peut écrire   et où ω0 et Q sont deux constantes à exprimer en fonction de R, L et C.

 3) Pour quelle valeur de ω le gain G = |H| est-il maximum ? Quel est sa valeur maximale G_max ?

4) On suppose pour cette question Q grand. Déterminer une expression approximative simple de x – 1/x au voisinage de x = 1. En déduire des expressions approximatives, mais simples des pulsations ω₁ et ω₂ (ω₁ < ω₂) délimitant la bande passante à –3 dB, c’est-à-dire l’intervalle de ω pour lequel le gain est supérieur à .

5) Ecrire les équations rigoureuses donnant ω₁ et ω₂ pour Q quelconque et les résoudre.

6) Comparer les expressions de   obtenues à partir des résultats des questions 4) et 5). 1

7) Exprimer v_s(t) dans les deux cas ω = ω₀ et ω = ω₁.

8) Tracer schématiquement les graphes de G et φ en fonction de ω.

9) Cette théorie est-elle valable si le générateur branché à l’entrée a une résistance non nulle ? si le récepteur branché à la sortie a une résistance finie ?

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Exercice 2

On considère le filtre ci-dessous avec : R1 = R3 = 1 kW  ;  R2 = 18 kW ; C = 100 nF .

1. Prévoir le comportement asymptotique de ce filtre.

2. Calculer la fonction de transfert  et mettre cette fonction sous la forme :  

Calculer k , t1 et t2 .

3. Etablir le diagramme de Bode en précisant les gains en décibels G pour les pulsations 1/t1 et 1/t2 .

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Exercice 3

On considère le circuit de la figure.

1. Prévoir le comportement asymptotique de ce filtre.

2. Déterminer la fonction de transfert  sous la forme

3. Montrer que l’on peut écrire  où a et b sont solutions d’une équation du second degré que l’on explicitera.

On donne R1 = 100 kW ; C1 = 10 nF ; R2 / R1 =C1 / C2 = 5 . Déterminer les coefficients a et b (on introduira la constante de temps t =R1 C1 = R2 C2 ).

4. Etablir le diagramme de Bode en précisant les gains en décibels G pour les plus d’actions  a et b .

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Exercice 4

1) Le filtre ci-contre débite sur une résistance d’utilisation infinie. En considérant son comportement asymptotique à haute et basse fréquence, déterminer sans calcul sa nature, passe bas, passe haut, passe bande ou coupe bande.

2) Exprimer sa fonction de transfert  en fonction de .

Note : ne pas transformer l’expression obtenue sans raison.

3) Tracer qualitativement le diagramme de Bode de ce filtre, c’est-à-dire les deux graphes de  en fonction de . On précisera les équations des asymptotes.

4) Quel est le plus grand, la pulsation de coupure ou R ?

5) On peut considérer ce filtre comme constitué par la mise en série de deux cellules formées par une résistance R et une bobine L. Comment modifier ce montage pour obtenir un filtre dont la fonction de transfert est le carré de celle d’un filtre ne comportant qu’une cellule ?

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Exercice 5

La courbe de gain GdB = 20 logG (G=Us/Ue) en fonction de la fréquence est donnée ci-dessous.

1. Déterminer graphiquement la fréquence de coupure à -3dB du filtre.

2. Déterminer les valeurs du gain dans le cas où f<10Hz et dans le cas où f = 20kHz. En déduire les valeurs de G correspondantes.

3. Calculer l’amplitude de la tension de sortie si la tension d’entrée a pour amplitude 24,8V et pour fréquence f = 20kHz.

4. Si la tension d’entrée est une tension continue v, quelle est alors la tension de sortie.

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