Cours d'Optique Géométrique Chapitre 3
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Figure 1:
Le centre et le rayon ” du dioptre ” sont le centre et le rayon algébrique R = SC de la sphère.
L’axe principal du dioptre est le diamètre de la sphère perpendiculaire au plan de base de la calotte sphérique utile : c’est l’axe optique.
Le pôle de cette même calotte est le sommet S du dioptre. Ω
Par convention la lumière passe du milieu d’indice n1 dans celui d’indice n2 : ceci oriente algébriquement l’axe principal
Toutes les distances le long de l’axe optique sont mesurées algébriquement en orientant positivement cet axe dans le sens de propagation de la lumière. Dans le cas le plus usuel qui considère des rayons lumineux situés dans un plan méridien, c’est-à-dire contenant l’axe optique, on compte également algébriquement les distances des points à l’axe optique le long d’un axe directement perpendiculaire à celui-ci.
3.2 CONDITIONS DU STIGMATISME APPROCHÉ
Le stigmatisme rigoureux est réalisé pour le centre du dioptre qui est sa propre image ainsi que pour certains couples bien particuliers de points : les points de WEIERSTRASS qui ne sont pas au programme de ce cours. On admet que, comme pour le dioptre plan, le stigmatisme approché sera bien réalisé dans les conditions de l’approximation de Gauss.
Dans le cadre de cette approximation les rayons sont paraxiaux ce qui correspond aux deux hypothèses suivantes :
-1- le plan (perpendiculaire à l’axe) en I peut être confondu avec le plan tangent en S ce qui correspond à δ2 .
-2- pour les rayons voisins de l’axe les angles i1 et i2 seront toujours petits de telle sorte qu’on pourra utiliser, si i est exprimé en radians, les égalités approchées suivantes :
Mathématiquement ceci revient à se limiter aux termes du premier ordre des développements en série de Taylor pour sin(i) et cos(i).
3.3 FORMULE DE CONJUGAISON AVEC ORIGINE AU SOMMET
Figure 2:
On pose α1 l’angle que fait la rayon incident A1I avec l’axe optique et α2 l’angle que fait, avec cet axe, le rayon réfracté correspondant. L’angle que fait CI avec CS est noté θ
Le rayon axial A1C n’étant pas dévié l’image A2 point d’intersection des émergents sera sur l’axe. On repère la position de A1 par rapport au sommet S par SA1 et, de même, celle de A2 par SA2. La position du rayon par rapport à l’axe au moment de la réfraction est mesurée par x≈SI.
Le théorème sur l’angle extérieur d’un triangle donne :
D’après la loi de Kepler :
En combinant ces trois équations on obtient :
d’où on tire :
En remarquant que :
et en substituant α1, α2 et θ
(3.1)
3.4 FOYERS ET VERGENCE
3.4.1 FOYER IMAGE
Si, dans les conditions du stigmatisme approché, A1 s’éloigne indéfiniment sur l’axe, son conjugué est, par définition, le FOYER IMAGE F2 du dioptre et SF2 est la DISTANCE FOCALE IMAGE du dioptre. Il suffit de faire SA1=∞
(3.2)
3.4.2 FOYER OBJET
Le point image A2 est à l’infini dans la direction de l’axe optique quand le point objet est au FOYER OBJET F1 du dioptre.SF1 est la DISTANCE FOCALE OBJET du dioptre.
En faisant SA2=∞
(3.3)
Figure 3:
3.4.3 POSITION DES FOYERS
Des relations précédentes on tire
(3.4)
LE RAPPORT DES DISTANCES FOCALES D’UN DIOPTRE SPHÉRIQUE EST ÉGAL AU RAPPORT DES INDICES CHANGÉ DE SIGNE.
Les foyers F1 et F2 sont toujours de part et d’autre du sommet S. Si F2 est dans le milieu d’indice n2, donc réel, F1 est dans le milieu d’indice n1, donc également réel. De la même façon, si F2 est dans le milieu n1 il est virtuel et F1 qui est alors dans le milieu n2 est également virtuel.
LES DEUX FOYERS SONT DE MÊME NATURE: TOUS DEUX RÉELS OU TOUS DEUX VIRTUELS.
3.4.4 VERGENCE
Dans le cas où le foyer image F2 d’un dioptre est réel, tous les rayons incidents paraxiaux parallèles à l’axe convergent en F2. Ce dioptre à foyers réels est alors dit convergent. La distance focale image SF2 est une quantité positive et on en déduit que le ” rayon ” R = SC et (n2 -n1) sont de même signe.
Par définition, la vergence V d’un dioptre sphérique est :
(3.5)
La vergence s’exprime en DIOPTRIES (symbole δ ) Sur la figure 3 on peut aussi remarquer que le centre d’un dioptre convergent est toujours situé dans le milieu le plus réfringent.
3.5 FORMULE DE NEWTON (Formule avec origines aux FOYERS)
Si on divise la relation de conjugaison avec origine au sommet par V =(n2 -n1)/SC on obtient :
Cette dernière relation s’écrit aussi :
Dans ce cas on repère la position de l’objet A1 par rapport au foyer objet F1 et la position de l’image A2 par rapport au foyer image F2. La relation précédente donne :
soit :
et finalement une relation parfaitement symétrique qui constitue la formule de conjugaison de Newton:
(3.6)
3.6 PLANS CONJUGUÉS, PLANS FOCAUX
Si un point B1 est assez voisin de l’axe principal pour n’envoyer que des rayons paraxiaux, il a une image B2 située sur l’axe secondaire B1C.
Figure 4:
Tout point tel que B1 appartenant à une portion de sphère de centre C et de rayon CA1 a une image située sur une portion de sphère de centre C et de rayon CA2. Dans les conditions du stigmatisme approché, ces portions de sphère peuvent être assimilées aux portions des plans tangents P1 et P2 en A1 et A2. Ces deux plans perpendiculaires à l’axe principal CS constituent deux plans ” de front ” conjugués.
On retrouve que le dioptre sphérique réalise l’APLANÉTISME dans les conditions de l’approximation de GAUSS.
Si l’un des deux plans conjugués est reporté à l’infini, l’autre est un PLAN FOCAL. Par exemple, le PLAN FOCAL IMAGE est le plan perpendiculaire à l’axe (principal) en Fφ2 : ce plan est le lieu des ” foyers secondaires ” tels 2 où convergent les faisceaux cylindriques de direction parallèle à Cφ2.
Figure 5:
N.B.1 En pratique les systèmes optiques habituels sont employés dans les conditions de l’approximation de GAUSS en limitant la surface utile des dioptres à l’aide de diaphragmes.
N.B.2 Un tel dioptre limité à une petite calotte sphérique très voisine du plan de front en S est représenté schématiquement comme le montre la figure 5. Sur une telle figure l’échelle suivant l’axe optique est différente de l’échelle dans la direction perpendiculaire à l’axe optique. La figure est dilatée suivant cette direction de telle sorte que, pour des raisons de lisibilité, les angles apparaissent beaucoup plus grand qu’ils ne sont en réalité : ceci obligera à utiliser des résultats de géométrie plane faisant intervenir les tangentes des angles mais au final on pourra remplacer ces ”tangentes” par les sinus (pour exploiter les lois de Descartes) ou par les angles eux-mêmes (lois de Kepler) exprimés en radians pour les applications numériques.
3.7 GRANDISSEMENTS, FORMULE DE LAGRANGE HELMHOLTZ
3.7.1 GRANDISSEMENT LINÉAIRE
Figure 6:
Le grandissement linéaire est le rapport d’une dimension de l’image dans le plan de front en A2 à la dimension correspondante de l’objet en A1:
(3.7)
Dans SA1B1 on a A1B1 = SA1 tan(i1)= SA1i1dans les conditions de GAUSS (avec SA1<0 span="">i2<0 span="">A1B1>0).
De même dans SA2B2 on a A2B2=SA2.tan(i2)=SA2i2 dans les conditions de GAUSS (avec SA2>0; i2<0 span="">A2B2 <0 font="">
D’où l'expression de ℘1i1=n2i2:
(3.8)
Pour obtenir une autre expression de ℘2A2B2 et F2SI sont semblables et que A1B1= SI. Il vient alors :
et finalement, puisque F1A1.F2A2= SF1.SF2 :
(3.9)
3.7.2 FORMULE DE LAGRANGE HELMHOLTZ
Soit un rayon incident quelconque A1I : il fait l’angle α1 avec l’axe principal. Dans les conditions de l’approximation de GAUSS, le réfracté correspondant passe par l’image A2 de A1 et fait l’angle α2 avec l’axe principal.
Figure 7:
Les angles α de figure 7 : α1 > 0 et α2 <0 font="">
sure le figure on voir que SA1 .α1= SA2α2 d’où, en utilisant l’expression 3.8 du grandissement linéaire
soit :
(3.10)
L’égalité 3.10, connue sous le nom de relation de LAGRANGE - HELMHOLTZ, exprime évidemment la réalisation de l’aplanétisme dans les conditions simplificatrices de la limitation aux rayons paraxiaux.
N.B. l’étudiant intéressé pourra vérifier (VOIR BIBLIOGRAPHIE) qu’il s’agit du passage à la limite des petits angles d’une relation plus générale connue sous le nom de relation des sinus d’ABBE (n1sinα1 A1B1=n2sinα2 A2B2 ).
3.7.3 RAPPORT DE CONVERGENCE G
Si on désigne par G = α2/α1 le rapport de convergence pour le couple de points conjugués A1, A2 on voit à partir de la relation3.10 que :
3.7.4 GRANDISSEMENT AXIAL g
Si A1 se déplace de d(SA1) sur l’axe, son image A2 se déplace de d(SA2) sur ce même axe. Par définition, le grandissement axial est :
En différenciant la relation de conjugaison?? dont le second membre est une constante égale à la vergence du dioptre il vient :
d’où on tire :
est toujours positif. Par conséquent l’image se déplace dans le même sens que l’objet si celui-ci se déplace le long de l’axe.
En introduisant ℘ (relation 3.8) il vient g =n2/n1 ℘2=℘²/(G.℘)
d’où la relation :
Complément : FORMULES AVEC ORIGINE AU CENTRE
Dans quelques cas particuliers (lentille demi boule par exemple) il peut être très intéressant de prendre le centre C pour origine. On déduit la formule de conjugaison correspondante de la relation ?? :
ce qui peut s’écrire :
d’où on tire :
soit encore :
et donc finalement :
(3.11)
Et pour le grandissement on voit sur la figure 7 que :
3.8 MIROIRS SPHÉRIQUES
3.8.1 DÉFINITIONS
Un miroir sphérique est une portion de sphère réfléchissante qui, généralement, est en forme de calotte sphérique.
Figure 8:
L’axe principal est le diamètre de la sphère perpendiculaire au plan de base de la calotte : il passe par le centre C et le sommet S du miroir. Ω
Tout autre diamètre que CS est un axe secondaire.
Tout plan contenant l’axe est un plan de section principale.
Si la surface réfléchissante est du côté du centre le miroir est concave. Il est convexe dans le cas contraire.
3.8.2 FORMULES DES MIROIRS SPHÉRIQUES
Elles se déduisent immédiatement de celles du dioptre sphérique si on remarque qu’on passe de la troisième loi de DESCARTES : n1sin(i1)= n2sin(i2) , à la seconde : i = -r en considérant que n1= +n lorsque la lumière se dirige vers le miroir et n2=-n quand se propage en sens inverse. Si A désigne un point objet et A' son image à travers le miroir on obtient sans difficultés les formules ci-après.
Formules avec origine au sommet :
En faisant SA =∞ SA' =∞
Formules avec origine au foyer. Formules de NEWTON :
et
Autres résultats :
Grandissement axial
Dans le cas d’un miroir sphérique l’objet et l’image se déplacent en sens inverse lors d’une translation sur l’axe.
Relation de LAGRANGE HELMHOLTZ
DIOPTRE ET MIROIR SPHÉRIQUE
Un dioptre sphérique est formé de deux milieux transparents d’indices différents n1 et n2 séparés par une surface sphérique.
3.1 DÉFINITIONS ET CONVENTIONS
Figure 1:
L’axe principal du dioptre est le diamètre de la sphère perpendiculaire au plan de base de la calotte sphérique utile : c’est l’axe optique.
Le pôle de cette même calotte est le sommet S du dioptre. Ω
Par convention la lumière passe du milieu d’indice n1 dans celui d’indice n2 : ceci oriente algébriquement l’axe principal
Toutes les distances le long de l’axe optique sont mesurées algébriquement en orientant positivement cet axe dans le sens de propagation de la lumière. Dans le cas le plus usuel qui considère des rayons lumineux situés dans un plan méridien, c’est-à-dire contenant l’axe optique, on compte également algébriquement les distances des points à l’axe optique le long d’un axe directement perpendiculaire à celui-ci.
3.2 CONDITIONS DU STIGMATISME APPROCHÉ
Le stigmatisme rigoureux est réalisé pour le centre du dioptre qui est sa propre image ainsi que pour certains couples bien particuliers de points : les points de WEIERSTRASS qui ne sont pas au programme de ce cours. On admet que, comme pour le dioptre plan, le stigmatisme approché sera bien réalisé dans les conditions de l’approximation de Gauss.
Dans le cadre de cette approximation les rayons sont paraxiaux ce qui correspond aux deux hypothèses suivantes :
-1- le plan (perpendiculaire à l’axe) en I peut être confondu avec le plan tangent en S ce qui correspond à δ2 .
-2- pour les rayons voisins de l’axe les angles i1 et i2 seront toujours petits de telle sorte qu’on pourra utiliser, si i est exprimé en radians, les égalités approchées suivantes :
3.3 FORMULE DE CONJUGAISON AVEC ORIGINE AU SOMMET
Figure 2:
Le rayon axial A1C n’étant pas dévié l’image A2 point d’intersection des émergents sera sur l’axe. On repère la position de A1 par rapport au sommet S par SA1 et, de même, celle de A2 par SA2. La position du rayon par rapport à l’axe au moment de la réfraction est mesurée par x≈SI.
Le théorème sur l’angle extérieur d’un triangle donne :
En combinant ces trois équations on obtient :
d’où on tire :
(3.1)3.4 FOYERS ET VERGENCE
3.4.1 FOYER IMAGE
Si, dans les conditions du stigmatisme approché, A1 s’éloigne indéfiniment sur l’axe, son conjugué est, par définition, le FOYER IMAGE F2 du dioptre et SF2 est la DISTANCE FOCALE IMAGE du dioptre. Il suffit de faire SA1=∞
(3.2)
Le point image A2 est à l’infini dans la direction de l’axe optique quand le point objet est au FOYER OBJET F1 du dioptre.SF1 est la DISTANCE FOCALE OBJET du dioptre.
En faisant SA2=∞
(3.3)
Figure 3:
Des relations précédentes on tire
(3.4)
Les foyers F1 et F2 sont toujours de part et d’autre du sommet S. Si F2 est dans le milieu d’indice n2, donc réel, F1 est dans le milieu d’indice n1, donc également réel. De la même façon, si F2 est dans le milieu n1 il est virtuel et F1 qui est alors dans le milieu n2 est également virtuel.
LES DEUX FOYERS SONT DE MÊME NATURE: TOUS DEUX RÉELS OU TOUS DEUX VIRTUELS.
3.4.4 VERGENCE
Dans le cas où le foyer image F2 d’un dioptre est réel, tous les rayons incidents paraxiaux parallèles à l’axe convergent en F2. Ce dioptre à foyers réels est alors dit convergent. La distance focale image SF2 est une quantité positive et on en déduit que le ” rayon ” R = SC et (n2 -n1) sont de même signe.
Par définition, la vergence V d’un dioptre sphérique est :
(3.5)
3.5 FORMULE DE NEWTON (Formule avec origines aux FOYERS)
Si on divise la relation de conjugaison avec origine au sommet par V =(n2 -n1)/SC on obtient :
Dans ce cas on repère la position de l’objet A1 par rapport au foyer objet F1 et la position de l’image A2 par rapport au foyer image F2. La relation précédente donne :
soit :
et finalement une relation parfaitement symétrique qui constitue la formule de conjugaison de Newton:
(3.6)
Si un point B1 est assez voisin de l’axe principal pour n’envoyer que des rayons paraxiaux, il a une image B2 située sur l’axe secondaire B1C.
Figure 4:
On retrouve que le dioptre sphérique réalise l’APLANÉTISME dans les conditions de l’approximation de GAUSS.
Si l’un des deux plans conjugués est reporté à l’infini, l’autre est un PLAN FOCAL. Par exemple, le PLAN FOCAL IMAGE est le plan perpendiculaire à l’axe (principal) en Fφ2 : ce plan est le lieu des ” foyers secondaires ” tels 2 où convergent les faisceaux cylindriques de direction parallèle à Cφ2.
Figure 5:
N.B.2 Un tel dioptre limité à une petite calotte sphérique très voisine du plan de front en S est représenté schématiquement comme le montre la figure 5. Sur une telle figure l’échelle suivant l’axe optique est différente de l’échelle dans la direction perpendiculaire à l’axe optique. La figure est dilatée suivant cette direction de telle sorte que, pour des raisons de lisibilité, les angles apparaissent beaucoup plus grand qu’ils ne sont en réalité : ceci obligera à utiliser des résultats de géométrie plane faisant intervenir les tangentes des angles mais au final on pourra remplacer ces ”tangentes” par les sinus (pour exploiter les lois de Descartes) ou par les angles eux-mêmes (lois de Kepler) exprimés en radians pour les applications numériques.
3.7 GRANDISSEMENTS, FORMULE DE LAGRANGE HELMHOLTZ
3.7.1 GRANDISSEMENT LINÉAIRE
Figure 6:
(3.7)
De même dans SA2B2 on a A2B2=SA2.tan(i2)=SA2i2 dans les conditions de GAUSS (avec SA2>0; i2<0 span="">A2B2 <0 font="">
D’où l'expression de ℘1i1=n2i2:
(3.8)
(3.9)
Soit un rayon incident quelconque A1I : il fait l’angle α1 avec l’axe principal. Dans les conditions de l’approximation de GAUSS, le réfracté correspondant passe par l’image A2 de A1 et fait l’angle α2 avec l’axe principal.
Figure 7:
sure le figure on voir que SA1 .α1= SA2α2 d’où, en utilisant l’expression 3.8 du grandissement linéaire
(3.10)
N.B. l’étudiant intéressé pourra vérifier (VOIR BIBLIOGRAPHIE) qu’il s’agit du passage à la limite des petits angles d’une relation plus générale connue sous le nom de relation des sinus d’ABBE (n1sinα1 A1B1=n2sinα2 A2B2 ).
3.7.3 RAPPORT DE CONVERGENCE G
Si on désigne par G = α2/α1 le rapport de convergence pour le couple de points conjugués A1, A2 on voit à partir de la relation3.10 que :
Si A1 se déplace de d(SA1) sur l’axe, son image A2 se déplace de d(SA2) sur ce même axe. Par définition, le grandissement axial est :
En introduisant ℘ (relation 3.8) il vient g =n2/n1 ℘2=℘²/(G.℘)
d’où la relation :
Dans quelques cas particuliers (lentille demi boule par exemple) il peut être très intéressant de prendre le centre C pour origine. On déduit la formule de conjugaison correspondante de la relation ?? :
(3.11)
3.8 MIROIRS SPHÉRIQUES
3.8.1 DÉFINITIONS
Un miroir sphérique est une portion de sphère réfléchissante qui, généralement, est en forme de calotte sphérique.
Figure 8:
Tout autre diamètre que CS est un axe secondaire.
Tout plan contenant l’axe est un plan de section principale.
Si la surface réfléchissante est du côté du centre le miroir est concave. Il est convexe dans le cas contraire.
3.8.2 FORMULES DES MIROIRS SPHÉRIQUES
Elles se déduisent immédiatement de celles du dioptre sphérique si on remarque qu’on passe de la troisième loi de DESCARTES : n1sin(i1)= n2sin(i2) , à la seconde : i = -r en considérant que n1= +n lorsque la lumière se dirige vers le miroir et n2=-n quand se propage en sens inverse. Si A désigne un point objet et A' son image à travers le miroir on obtient sans difficultés les formules ci-après.
Formules avec origine au sommet :
Formules avec origine au foyer. Formules de NEWTON :
Grandissement axial
Relation de LAGRANGE HELMHOLTZ