COURS DE TRIGONOMÉTRIE

TRIGONOMÉTRIE

COURS DE TRIGONOMÉTRIE

1. Radian
2. Trigonométrie du cercle
2.1. Cercle trigonométrique
2.2. Relations remarquables
2.2.1. Théorème du cosinus
2.2.2. Théorème du sinus
3. Trigonométrie hyperbolique
3.1. Relations remarquables
4. Trigonométrie sphérique
4.1. Relation des sinus
4.2. Angle solide

La trigonométrie fait partie intégrante de la science de la géométrie. Cette première ayant pour racine "mesure de la terre" la trigonométrie a pour racine "mesure des corps à trois angles (trigone)".

Remarques: R1. Il existe actuellement trois  trigonométries connues (définies) couramment utilisées en mathématique : la trigonométrie du cercle (assimilée à l'étude des "fonctions circulaires"), la trigonométrie hyperbolique et la trigonométrie sphérique. Nous proposons dans le présent texte une tentative d'approche relativement rigoureuse de toutes les relations les plus connues dans ces trois domaines.
R2. Nous ne traiterons par contre pas ici des trigonométries quadratique et rhombique qui sont utilisées par les électroniciens et qui n'ont peu voir pas d'intérêt en physique théorique. La même remarque est valable pour la trigonométrie lemniscatique qui est en relation avec les mathématiques pures et en particulier la fonction zêta de Riemann.
R3. Le lecteur qui chercherait la démonstration des dérivées et intégrales des fonctions trigonométriques définies ci-après devra se reporter au chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral (cf. section d'Algèbre) où les dérivées et intégrales des fonctions usuelles que nous pouvons trouver dans les formulaires sont toutes démontrées.

RADIAN

Quand nous parlons de trigonométrie, la première chose qui devrait venir à l'esprit et s'imposer comme tel comme standard de mesures d'angles plans (voir le chapitre de géométrie plane pour la définition du concept d'angle) est la notion de "radians".
Définition: 1 "radian" (noté [rad]) est l'angle plan décrit par une sécante à un cercle, passant par son centre, tel que l'arc de cercle ainsi défini par l'axe horizontal passant par le centre du cercle et la sécante soit d'égale longueur au rayon de ce cercle.
Par exemple, pour un cercle de rayon  donc de circonférence (ou périmètre P)  la longueur de l'arc de cercle définit par une sécante ayant une angle de 1 radian par rapport à l'horizontale passant par le centre du cercle sera égale à 1.
Dès lors il vient que l'angle pour "un tour" du cercle sera de :

  (20.1)

L'exemple précédent se généralise à un cercle de rayon R quelconque car l'angle pour un tour complet sera toujours  et pour un demi-tour de  pour un quart de ...
Malheureusement dans les écoles, les professeurs du primaire apprennent encore aux enfants à mesurer les angles en degrés. Heureusement la conversion à faire n'est pas trop difficile... (c'est une simple règle de trois).
Soit r la mesure d'un angle en radians, d la mesure du même angle en degrés et g la mesure du même angle en grades (vieille unité) nous avons par définition :

  (20.2)

Les astronomes et astrophysiciens aiment bien parler en minutes ou secondes d'arc tel que :

 (minutes d'arc)    (secondes d'arc)   (20.3)

TRIGONOMÉTRIE du CERCLE

Soit la figure ci-dessous représentant un cercle quelconque centré à l'origine dans une base directe :

  (20.4)

De par l'application du théorème de Pythagore (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne), nous y avons:

  (20.5)

avec R étant le rayon du cercle.
A partir de cette représentation, nous pouvons définir des êtres mathématiques nommés "fonctions trigonométriques du cercle" appelées aussi parfois par les anciens (...) "fonctions cyclométriques" telles que (pour les plus importantes):

  (20.6)

Remarques: R1. Lisez "cosinus" pour "cos", "sinus" pour "sin", "tangente" pour "tan", "cotangente" pour "ctg", "sécante" pour "sec", "cosécante" pour "csc".
R2. Lorsque le contexte le permet et qu'il ne peut y avoir d'ambiguïté, les parenthèses après le nom de la fonction trigonométriques peuvent être omises (c'est souvent le cas en physique).
R3. Les fonctions arc... sont donc les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques (fonctions bijectives) correspondantes!

A partir des ces fonctions, nous pouvons faire des combinaisons et tirer des relations remarquables très simples mais dont l'utilité profonde est discutable (et qui sont très peu utilisées) telles que :

  (20.7)

Dont voici un superbe schéma... qui résume le tout :

  (20.8)

Propriétés :
P1. Si nous nous plaçons dans l'étude du cercle dit "cercle trigonométrique", il faut poser pour les définitions ci-dessus . Ainsi, apparaît plus nettement le sens physique de ces définitions et il en découlera un nombre de propriétés et d'applications directement exploitables dans la physique théorique et la mathématique pure.
Effectivement, si  nous avons trivialement:

  (20.9)

et en appliquant le théorème de Pythagore (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne):

  (20.10)

d'où:

  (20.11)

P2. Si   est un réel, et , les réels  et  sont associés au même point M de par la périodicité du cercle trigonométrique. En effet, et sont deux mesures du même angle orienté. Ainsi :

  (20.12)

Idem pour toutes les fonctions trigonométriques qui découlent de la définition des fonctions sinus et cosinus.

Remarque: Dans la mesure des "angles orientés", nous disons que deux mesures sont congrues modulo si et seulement si leur différence est un multiple de . Cela caractérise deux mesures d'un même angle.

Par définition,  sinus et le cosinus de tout nombre réel font partie de l'intervalle . Plus précisément, la position de M nous permet d'en savoir plus sur le cosinus et le sinus de . Ainsi :

  (20.13)

Il existe également une autre représentation des fonctions trigonométriques du cercle, un peu plus technique au sens visuel mais assez important pour bien comprendre, plus tard, la mécanique ondulatoire :

  (20.14)

Le lecteur devrait à ce point, remarquer sans trop de peine les propriétés suivantes (très souvent utilisées en physique!) :

  (20.15)

et reconnaître facilement que le sinus est une fonction impaire et la fonction cosinus une fonction paire (constat qui nous sera souvent utile dans divers développements mathématiques sur les séries trigonométriques).

Nous avons vu au début de ce chapitre, que de par la définition des fonctions trigonométriques nous avons :

  (20.16)

et également:

  (20.17)

De façon exactement identique nous démontrons que:

  (20.18)

A partir de ces dernières relations nous tirons sans trop de peine que:

  (20.19)

identiquement nous aurons :

  (20.20)

par le raisonnement inverse nous tirons tout aussi facilement que:

 et   (20.21)

Il vient également sans difficultés en observant le cercle trigonométrique que:

  (20.22)

Voici les schémas qui résument la manière d'analyse de quelques de ces propriétés (pour les autres relations, la méthode est identique):

  (20.23)

Introduisons maintenant une dernière relation que nous retrouvons en optique ondulatoire ou encore dans le cadre des transformées de Fourier qui est le "sinus cardinal":

  (20.24)

représenté par:

  (20.25)

C'est surtout sa forme 3D qui est connue car souvent utilisée pour des raisons marketing faisant penser à une goutte d'eau tombant dans un récipient d'eau (avec Maple) et c'est toujours joli à regarder...:
plot3d(sin(sqrt(x^2+y^2))/(sqrt(x^2+y^2)),x=-20..20,y=-20..20);

  (20.26)

RELATIONS REMARQUABLES

Le dessin ci-dessous va nous permettre d'établir des relations qui permettront de résoudre des équations impliquant des fonctions trigonométriques (toutes ces relations sont de première importance en physique pour la simplification de la résolution de problèmes).

  (20.27)

Nous noterons sur le schéma la relation suivante:
Donc:

  (20.28)

En résumé:

  (20.29)

Ce qui implique trivialement si :

  (20.30)

et :

  (20.31)

d'où:

  (20.32)

Nous avons également:

  (20.33)

d'où:

  (20.34)

Ce qui implique trivialement si :

  (20.35)

Avec la relation déjà démontrée nous obtenons également les relations très importantes:

  (20.36)

Relations avec lesquelles nous obtenons très facilement:

  (20.37)

et :

  (20.38)

d'où:

  (20.39)

Nous avons aussi:

  (20.40)

Ceci, pour en arriver à la relation:

  (20.41)

qui implique:

  (20.42)

et évidemment:

  (20.43)

d'où:

  (20.44)

Nous obtenons également de manière triviale des relations précédentes (nous faisons un petit mélange et nous secouons...):

 et   (20.45)

Nous avons aussi :

  (20.46)

avec :

  (20.47)

d'où :

  (20.48)

de manière similaire nous obtenons :

  (20.49)

avec :

  (20.50)

d'où :

  (20.51)

Déterminons maintenant les formules trigonométriques complémentaires appelées "formules de Simpson" ou "formules d'addition" qui permettent d'exprimer la somme de sinus et/ou de cosinus en produit de sinus et/ou cosinus.
Soit les relations déjà démontrées précédemment:

(1)

  (20.52)

(2)

Posons  et  d'où :

 et   (20.53)

Nous obtenons par sommation de (1) et (2):

  (20.54)

et par différence:

  (20.55)

De la même manière nous obtenons :

  (20.56)

et par différence:

  (20.57)

et inversement nous retombons très facilement sur les relations:

  (20.58)

Toutes ces relations nous seront utiles lors de notre étude de la physique générale et particulièrement dans le cas de calcul d'intégrales.

THÉORÈME DU COSINUS

Démontrons encore le théorème du cosinus, utile en géométrie:
Dans un triangle quelconque, le carré d'un des deux côtés est égal à la somme des autres diminués du double produit de ces deux côtés par le cosinus de l'angle compris entre eux :

  (20.59)

Démonstration:

  (20.60)

mais dans le triangle ABH, rectangle en H, nous avons la relation  d'où:

  (20.61)

Nous obtenons donc une des relations du "théorème du cosinus":

  (20.62)

Par permutation circulaire, nous obtenons les deux autres relations connues.

Remarque: Le théorème du cosinus est parfois appelé "formule d'Al-Kashi", par ailleurs si a est l'hypoténuse son angle opposé un angle droit tel que est nul et nous retrouvons donc le théorème de Pythagore. Voici pourquoi nous appelons parfois la formule d'Al-Kashi "formule de Pythagore généralisée".

THÉORÈME DU SINUS

Soit le triangle quelconque dont nous traçons deux hauteurs :

  (20.63)

Dans le triangle ci-dessus nous avons les relations :

  (20.64)

ce qui nous conduit à l'expression :

  (20.65)

d'où :

  (20.66)

Par un raisonnement similaire nous avons :

  (20.67)

Ce qui donne :

  (20.68)

Le tout combiné nous fournit le "théorème des sinus" dont le plus exemple d'application sur ce site est certainement la détermination des points de Lagrange L4 et L5 dans le chapitre d'astronomie :

  (20.69)

Evidemment, il n'y a pas ici toutes les relations trigonométriques (du cercle) existantes comme nous l'avons déjà dit, mais au moins les plus importantes qu'il faut savoir retrouver lors de l'étude de systèmes physiques.

TRIGONOMÉTRIE HYPERBOLIQUE

 

Nous avons démontré en analyse fonctionnelle que toute fonction f(x) peut se décomposer en un fonction paire et impaire tel que :

  (20.70)

Ainsi, pour la fonction  , nous obtenons :

  (20.71)

Rappelons lors de notre étude des nombres complexes que nous avions démontré que :

  (20.72)

Nous définissons alors par analogie le sinus et le cosinus hyperbolique (nous démontrerons la provenance de ce terme plus loin) par :

  (20.73)

et nous pouvons donc écrire :

  (20.74)

Relation que nous pouvons à nouveau mettre en analogie avec :

  (20.75)

Chose intéressante, nous pouvons travailler en trigonométrie avec des angles complexes. Effectivement, si nous posons , nous avons alors :

  (20.76)

Or :

  (20.77)

Donc :

  (20.78)

Donc la fonction hyperbolique d'un angle complexe existe et l'image en est un nombre complexe aussi. Nous pouvons ainsi voir abusivement la géométrie hyperbolique comme une sorte de généralisation de la trigonométrie du cercle aux angles réels et complexes.
Par opposition à la trigonométrie du cercle, le lecteur remarquera et vérifiera facilement que nous avons :

  (20.79)

Démonstration:

Nous avons donc:

C.Q.F.D.

Recherchons maintenant les fonctions réciproques des fonctions sinus et cosinus hyperboliques (que nous utiliserons parfois en physique ou en mécanique). Pour cela rappelons que:

  (20.80)

et que la recherche de la fonction réciproque consiste toujours à isoler x.
Donc:

  (20.81)

c'est-à-dire:

  (20.82)

en résolvant ce polynôme du deuxième degré en  puis en prenant le logarithme nous obtenons:

  (20.83)

Or comme  nous devons rejets la solution avec le signe "-". Il vient alors:

  (20.84)

d'où:

  (20.85)

En procédant de même pour:

  (20.86)

Donc:

  (20.87)

c'est-à-dire:

  (20.88)

en résolvant ce polynôme du deuxième degré en  puis en prenant le logarithme nous obtenons:

  (20.89)

Or comme  nous devons rejets la solution avec le signe "-". Il vient alors:

  (20.90)

d'où:

  (20.91)

Ainsi:

  (20.92)

Pour étudier une représentation géométrique simple posons maintenant :

  (20.93)

avec une restriction à  et donc :

  (20.94)

Donc nous pouvons écrire :

  (20.95)

Or, comme nous le verrons lors de notre étude des coniques dans le chapitre de Géométrie Analytique :
1. La première de ces deux relations, constitue pour l'ensemble de définition donné, un cercle de rayon unité centré à l'origine. Le lecteur remarquera qu'il est assez curieux pour la trigonométrie du cercle d'obtenir un cercle...
2. La deuxième de ces deux relations, constitue pour l'ensemble de définition donné, une hyperbole équilatérale orientée selon l'axe X dont le sommet est S(1,0) à et de foyer . Le lecteur remarquera à nouveau qu'il est assez curieux pour la trigonométrie hyperbolique d'obtenir une hyperbole...
Ces deux dernières constations devraient permettre, nous l'espérons, au lecteur de comprendre l'origine du nom de la trigonométrie hyperbolique et de constater que l'étude la trigonométrie hyperbolique sur l'hyperbole est l'analogue de l'étude de la trigonométrie du cercle sur le cercle.
Si nous représentons le cercle trigonométrie et l'hyperbole trigonométrique et rajoutons quelques information complémentaire, voici ce que nous obtenons :

  (20.96)

Explications :
Pour tracer à la règle et au compas le point P(x,y) de l'hyperbole, nous nous donnons x, donc le point A(x,0). Nous traçons la tangent au cercle (C) qui relie A(x,0) ce qui nous donne le point de tangence T. Nous traçons le cercle (G) de centre A(x,0) et passant par T. Ce cercle coupe P(x,y) à la perpendiculaire en A(x,0) à Ox.
Nous voyons apparaître sur la figure plusieurs valeurs des fonctions hyperboliques correspondant à  mais aussi  etc. Entre autres, le cercle (G) coupe l'axe Ox en deux points dont les abscisses sont et .
Si le lecteur veut s'assure de cette constat de faits que donne la figure, il pourra contrôler qu'en tout point de l'hyperbole, nous avons toujours les relations (entre autres) :

  (20.97)

qui sont toujours vérifiées.
Si nous traçons maintenant sur un graphique :

  (20.98)

Nous obtenons (ça c'est juste pour avoir vu une fois à quoi ressemble ces fonctions) :

  (20.99)

Nous retrouverons la fonction cosh(x) dans le chapitre de Génie Civil par exemple dans le cadre des câbles suspendus.

RELATIONS REMARQUABLES

Soit par définition :

  (20.100)

et :

  (20.101)

A partir de ces définitions et à l'aide des opérations élémentaires d'algèbre nous pouvons déterminer les relations remarquables suivantes (c'est beaucoup plus facile que la détermination de relations remarquables de la trigonométrie du cercle, donc sauf demande nous donnons ces relations sans démonstration) :

  (20.102)

Egalement :

  (20.103)

Et nous avons les relations d'addition :

  (20.104)

Suite à la demande d'un étudiant, démontrons la première et troisième relation ci-dessus :
Pour la première :

  (20.105)

et la troisième :

  (20.106)

Signalons encore d'autres relations remarquables :

  (20.107)

et encore :
  (20.108)

TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE

 

L'objectif de la trigonométrie sphérique est de déterminer les relations remarquables existants entre les angles et les côtés de formes projetées (dites également "formes géodésiques" car suivant la courbure de l'espace) sur la surface d'une sphère. Pour déterminer ces relations, nous allons nous intéresser au cas particulier d'une sphère de rayon unité et des relations entre les côtés d'un triangle (élément de surface plane élémentaire) et les différents angles existants. Nous verrons que les résultats sont au fait indépendants du rayon de la sphère et de la forme considérée initialement.
Soit la figure sur laquelle se trouve un triangle géodésique de sommets A, B, C d'angles d'ouverture respectifs  et de côtés opposés a, b, c et trois vecteurs  unitaires tels que et que l'extrémité de  est confondu avec le sommet A:

  (20.109)

L'angle entre les points B et C, noté , n'a pas pu être représenté sur le schéma ci-dessus faute de place.
Rappelons que le périmètre d'un cercle de rayon unité sur la sphère de rayon unité vaut bien évidemment . Le périmètre du cercle en fonction de l'angle d'ouverture de ce dernier étant donné par (relation très très souvent utilisée en physique!!!):

  (20.110)

Si le cercle à rayon  (comme c'est le cas pour notre sphère), le calcul de la longueur d'arc se simplifie et devient:

  (20.111)

Conséquence relativement aux points sur notre sphère; les côtés du triangle sont donnés par:

  (20.112)

Considérons maintenant le produit scalaire (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

  (20.113)

et comme  nous avons:

  (20.114)

Si nous décomposons les deux vecteurs  et  sur les vecteurs tangents unités nous avons:

  (20.115)

Ce qui nous donne:

  (20.116)

ce qui donne (distributivité du produit scalaire):

  (20.117)

Comme  et  , la relation précédente se réduit à:

  (20.118)

et comme:

  (20.119)

Nous avons:

  (20.120)

relation dit "relation fondamentale" que nous pouvons tout aussi bien écrire:

  (20.121)

Cette dernière relation est invariante par permutation circulaire des variables .
Il est que les sinus de tous les angles sont positifs (puisque inférieurs à ), ainsi nous pouvons écrire:

  (20.122)

Cette dernière relation est bien évidemment également invariante par permutation circulaire des variables . Donc nous obtenons une relation remarquable du triangle sphérique, appelée "relation des sinus":

  (20.123)

Comme la trigonométrie sphérique est souvent utilisée pour des repérages terrestres, avec souvent 2 cercles très particuliers et orthogonaux : l'équateur terrestre et un méridien ou un parallèle quelconque, ce cas revêt un intérêt particulier. Le lecteur pourra s'exercer à retrouver les relations ci-dessous. Dans le cas d'un triangle rectangle en A nous avons bien évidemment:

  (20.124)

Toutes les relations que nous avons déterminées jusqu'à maintenant nous permettent dans le cas où  de tirer des relations très intéressantes pour la géophysique:

  (20.125)

Evidemment, nous n'avons pas présenté ici toutes les relations de trigonométrie sphérique existantes, mais au moins les plus importantes qu'il faut savoir retrouver.

Remarque: Nous définissons "l'excédent" ou "excès sphérique" par le nombre:

  (20.126)

Pendant que nous y somme, profitons-en pour calculer un problème classique qui est celui de la surface d'un triangle sur une sphère. Soit la figure:

  (20.127)

Si nous prolongeons les arcs de géodésique AC et AB jusqu'à _, nous obtenons  une tranche de sphère dont la surface est proportionnelle à l'angle ,en A. Si cet angle valait , nous aurions toute la sphère et la surface vaudrait . Comme l'angle vaut , la proportionnalité nous dit que  vaut:

  (20.128)

De la même manière, si nous prolongeons les arcs BC et BA jusqu'à  et si nous prolongeons les arcs CA et CB jusqu'à , nous obtenons deux autres tranches dont les surfaces  et  valent:

  (20.129)

Supposons maintenant que nous additionnons ces trois surfaces:

  (20.130)

nous obtenons alors la moitié de la sphère (regarder la figure pour vous le représenter mentalement) plus additionné 2 fois en trop le triangle géodésiques de surface S en bleu sur la figure (soit 2 fois en trop).
Il faut enlever deux fois la surface de ce triangle bleu pour obtenir la surface de la demi-sphère:

  (20.131)

Donc:

  (20.132)

comme , nous avons:

  (20.133)

Après simplification nous en déduisons que la surface S du triangle ABC vaut::

  (20.134)

où  est un angle solide.
Il est assez simple de généraliser ce concept à d'autres formes du même acabit (en particulier celles composées de triangles...).

ANGLE SOLIDE

Il se pose le problème dans la géométrie spatiale le concept d'angle d'ouverture d'une portion de l'espace (en extension à l'angle dit "angle plan"). Nous définissons alors "l'angle solide"  par la mesure de la portion d'espace limitée par une surface conique de sommet O et nous l'exprimons en stéradian, défini par le rapport :

  (20.135)

S étant l'aire de la calotte découpée par le cône sur une sphère de rayon r.

  (20.136)

Si  est le demi-angle du cône, nous obtenons pour ce rapport (pour le calcul de la calotte d'une surface sphérique voir le chapitre traitant des formes géométriques) :

  (20.137)

D'où l'on conclut que l'angle solide total vaut par définition :

  (20.138)

Nous pouvons également calculer "l'angle solide élémentaire" tel que représenté ci-dessous :

  (20.139)

Soit un angle solide élémentaire  et OM l'axe du cône. Nous posons :

  (20.140)

Nous considérons une surface quelconque  passant par le point M. découpe sur cette surface une portion .
Si nous traçons la sphère S de centre O et de rayon r, cet angle solide découpe sur cette sphère une calotte d'aire dS :

  (20.141)

Soit MN la normale à qui fait un angle  avec OM. Nous avons, en assimilant dS et à des portions de plan :

  (20.142)

d'où :

  (20.143)

Ce concept d'angle solide nous sera très utile en partie dans le domaine de la physique théorique qui traite du rayonnement thermique (cf. chapitres d'Optique et de Thermodynamique).
Nous pouvons encore calculer à partir des concepts précédents, l'angle solide élémentaire de révolution tel que présenté sur la figure ci-dessous :

  (20.144)

Il est compris entre deux angles solides de révolution dont les demi-angles au sommet diffèrent de .

  (20.145)

où :

  (20.146)

Démonstration:
Dans le chapitre traitant des Formes Géométriques (cf. section de Géométrie) nous avons démontré les différentes manières de calculer la surface d'une sphère. De ces calculs il avait été déduit que la surface élémentaire à R constant était:

  (20.147)

et puisque :

  (20.148)

l'angle solide élémentaire s'écrit alors :

  (20.149)

Ainsi, l'angle solide délimité par un cône de révolution, d'angle au somment  vaut :

  (20.150)

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