Q est dense dans R ( La Propriété d’Archimède )
On a bien compris maintenant que Q = lR.
Cependant, grâce `a la propriété d’Archimède, on montre que ces deux ensembles
ne sont pas très différents :
Proposition : Q
est dense dans lR : tout intervalle ]a, b[ non-vide de lR contient au
moins un rationnel.
Preuve: Puisque b − a > 0, la propriété
d’Archimède permet d’affirmer qu’il existe n ∈ N tel
que
n > 1/(b − a). Posons alors m = E(na) : on a m ≤ na < m + 1, donc
m/n≤ a < (m + 1)/n≤ m/n+ 1/n< a + (b − a) = b.
Le nombre rationnel (m + 1)/n appartient donc a ]a, b[.