Somme et produit (Règles de calcul dans R)
Si a et b sont deux réels quelconques, on sait définir le réel somme de a et b, noté a + b, et
le réel produit de a et b, noté a×b. Voici les quelques règles (axiomes) qui fondent le calcul
dans lR tel que vous le pratiquez depuis toujours !
– Pour l’addition :
Règle 1 : a + b = b + a pour tous réels a et b.
Règle 2 : a + (b + c) = (a + b) + c pour tous réels a, b et c.
Règle 3 : a + 0 = 0 + a = a pour tout réel a.
Règle 4 : Pour tout a ∈ lR, il existe un unique réel, noté −a, qui vérifie a + (−a) =(−a) + a = 0.
On résume ces quatre propriétés en disant que (lR,+) (lire : lR muni de l’addition) est un
groupe commutatif (la commutativité est la propriété énoncée dans la règle 1).
– Pour la multiplication :
Règle 5 : a × b = b × a pour tous réels a et b.
Règle 6 : a × (b × c) = (a × b) × c pour tous réels a, b et c.
Règle 7 : a × 1 = 1 × a = a pour tout réel a.
Règle 8 : Pour tout a ∈ lR* = lR\ {0}, il existe un unique réel, noté 1/a, qui vérifie a× 1/a= 1/a ×a = 1
On remarque que la multiplication dans lR* vérifie les mêmes quatre propriétés que l’addition
dans R : (lR*,×) est aussi un groupe commutatif.
Voilà une dernière règle, que vous connaissez sous le nom de distributivité :
Règle 9 : a × (b + c) = (a × b) + (a × c) pout tous a, b et c dans lR.
On résume les neuf propriétés qui précèdent en disant que (lR,+,×) est un corps commutatif.
Il faut noter qu’à ce stade, lR et Q ont exactement les mˆemes propriétés : (Q,+,×) est aussi
un corps commutatif.
le réel produit de a et b, noté a×b. Voici les quelques règles (axiomes) qui fondent le calcul
dans lR tel que vous le pratiquez depuis toujours !
– Pour l’addition :
Règle 1 : a + b = b + a pour tous réels a et b.
Règle 2 : a + (b + c) = (a + b) + c pour tous réels a, b et c.
Règle 3 : a + 0 = 0 + a = a pour tout réel a.
Règle 4 : Pour tout a ∈ lR, il existe un unique réel, noté −a, qui vérifie a + (−a) =(−a) + a = 0.
On résume ces quatre propriétés en disant que (lR,+) (lire : lR muni de l’addition) est un
groupe commutatif (la commutativité est la propriété énoncée dans la règle 1).
– Pour la multiplication :
Règle 5 : a × b = b × a pour tous réels a et b.
Règle 6 : a × (b × c) = (a × b) × c pour tous réels a, b et c.
Règle 7 : a × 1 = 1 × a = a pour tout réel a.
Règle 8 : Pour tout a ∈ lR* = lR\ {0}, il existe un unique réel, noté 1/a, qui vérifie a× 1/a= 1/a ×a = 1
On remarque que la multiplication dans lR* vérifie les mêmes quatre propriétés que l’addition
dans R : (lR*,×) est aussi un groupe commutatif.
Voilà une dernière règle, que vous connaissez sous le nom de distributivité :
Règle 9 : a × (b + c) = (a × b) + (a × c) pout tous a, b et c dans lR.
On résume les neuf propriétés qui précèdent en disant que (lR,+,×) est un corps commutatif.
Il faut noter qu’à ce stade, lR et Q ont exactement les mˆemes propriétés : (Q,+,×) est aussi
un corps commutatif.