La solution d'Exercice sur E et B orthogonaux. Cycloïde (Mouvements d'une particule chargée dans un champ électromagnétique)

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1.  Equations différentielles.

On étudie le mouvement de la particule dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. Ce système est soumis à l’action de son poids et à la force de Lorentz. On néglige cependant l’effet du poids devant celui de la force électromagnétique. La seconde loi de Newton permet d’écrire que :

L’accélération s’écrit alors :

On obtient le système d’équations différentielles couplées suivant :

avec

2.  Equations paramétriques de la trajectoire

 L’équation (3), compte tenu des conditions initiales, donne z = 0. Le mouvement s’effectue dans le plan xOy.

L’intégration de (1) fournit :

Comme la composante initiale de la vitesse suivant Ox est nulle on obtient :

On reporte ce dernier résultat dans l’équation (2) et on obtient l’équation différentielle suivante :

La solution de cette équation est :

 C et D sont des constantes d’intégration que l’on détermine à partir des conditions initiales. En effet :

On obtient finalement :

Comme on a 
L’intégration de cette dernière équation fournit, en tenant compte des conditions initiales :

3.  Allure de la trajectoire.

 Pour déterminer l’allure de la courbe, on dresse un tableau de valeurs : 

On limite l’étude à l’intervalle utilisé compte de la périodicité des fonctions utilisées.

 

 

4.  Valeur de la vitesse.

La norme du vecteur vitesse a pour expression :

A la date la vitesse est égale à :

5. Utilisation du théorème de l’énergie cinétique.

On applique le théorème de l’énergie cinétique entre les dates 0 et 

Or :

Finalement :

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