Retour à l’exemple 1-D
On reprend le problème 1-D (2.1). On a écrit sa formulation variationnelle (cf §2.1.1) et montré (cf §2.2.3) qu’elle admet une solution unique.
On peut maintenant construire un maillage de [a,b] en définissant une subdivision (pas nécessairement régulière) a =x0 < x1 < . . . < xN < xN+1 = b. Définissons alors l’espace Vh , sous-espace de H01(a,b) de dimension finie, par :
Vh= {vh ∈ C0(a,b) / vh affine sur chaque segment [xj ,xj+1] et vh(a) = vh(b) = 0}
Le problème approché sur Vh est :
(Qh) Trouver uh ∈ Vh tel que a(uh,vh) = l(vh), ∀vh ∈ Vh
En remarquant qu’une fonction de Vh est entièrement déterminée par ses valeurs en x1, . . . ,xN, on établit que la dimension de Vh est N, et qu’une base de Vh est par exemple (ϕ1, . . . ,ϕN), ou ϕi est définie par ϕi(xj) =δij , j = 1, . . . ,N (δij est ici le symbole de Kronecker). ϕi est donc la fonction “chapeau” représentée sur la figure 2.1.
En décomposant la solution approchée uh sur cette base sous la forme
Le support de ϕi étant réduit `a [xi-1,xi+1], on en déduit que
A est donc tridiagonale.