les termes de la relation de Bernoulli pour des écoulement dans des tubes régulièrement pressentant aucune singularité ; pertes de charge régulière
Introduction :
- Bernoulli, principe de, en mécanique des fluides, principe selon lequel
l'énergie mécanique totale d'un écoulement de fluide incompressible et sans
frottement est constante le long d'une ligne de courant de cet écoulement. Pour
un écoulement uniforme, les lignes de courant correspondent à la trajectoire
des molécules de fluide prises individuellement. Le principe de Bernoulli fut
formulé en 1738 par le mathématicien et physicien suisse Daniel Bernoulli, et
antérieurement par Leonhard Euler. Le principe de Bernoulli conduit à une
relation entre la pression, la vitesse du fluide et la force de gravitation. Il
montre que la vitesse du fluide augmente lorsque la pression exercée sur le
fluide diminue.
- Cette loi a été appliquée pour optimiser la forme des ailes d'un avion
ou celle des hélices d'un navire. En effet, la forme d'une aile est telle que
l'air y circule plus rapidement sur sa surface supérieure (extrados) que sur sa
surface inférieure (intrados). De ce fait, la pression de l'air sur l'extrados
est inférieure à celle qui s'exerce sur l'intrados. La différence de pression
qui en résulte est à l'origine de la poussée ascendante qui maintient l'avion
en vol. Dans le cas de l'hélice rotative, qui est également un plan à profil
d'aile (c'est-à-dire, formée comme une aile), la différence de pression
correspondante fournit la poussée qui propulse le navire. Le principe de
Bernoulli est appliqué dans les tuyères : l'écoulement s'accélère lorsque le
diamètre du tube décroît, et la pression chute en conséquence. Il est également
utilisé dans les débitmètres à tube Venturi : la mesure de la différence de
pression d'un fluide circulant dans deux tuyaux de diamètres différents permet
de déterminer la vitesse de ce fluide, et donc son débit.
BUT :
Cette manipulation a pour but
de mettre en évidence dans un premier temps les termes de la relation de
Bernoulli pour des écoulement dans des tubes régulièrement pressentant aucune
singularité. On étudiera ensuite un aspect des pertes de charge régulière.
ASPECT THÉORIQUES :
1-
lors de l’écoulement permanent isotherme d’un fluide incompressible
sans frottement, l’énergie mécanique du fluide se conserve le long de courant,
c’est le théorème de bernoulli.
2-
l’équation de Bernoulli entre deux sections (1) et (2) de la
conduite s’exprime par :
Ht1= Z1 +P1/ρg +V1^2/2g=Z2+P2/ρg +V2^2/2g= Ht2
Avec :
Hti : charge total de
fluide a la section (i).
Vi : la vitesse moyenne de
fluide a la section (i)
Pi : la pression
statique a la section (i)
Zi : la cote de la
section (i) par rapporta un plan de référence
3-
s’il existe de frottement entre
les particule des fluides et entre les parois de la conduite, notre théorème de
Bernoulli s’écrit comme suit :
Ht1=Ht2+ΔH12
Avec :
ΔH12 les pertes de charge entre les sections
(1et 2)
Exprime on hauteur de fluide
si V la vitesse moyenne de fluide qui s’écoule dans une conduite cylindrique de
diamètre D la perte de charge ΔH subit par le fluide sur une longueur droit L
s’écrit :
Δh = λL/D .V^2/2g =λ 16.L/π^2.D^5
*Q^2/2g
Avec :
λ : le coffecient de
perte de charge dit coffecient de darcy
qui dépend de la nature de l’ecoullment .
- MANIPULATION :
·
Première
partie :
D’abord on raccorde la
conduite qui possède HUIT pistes de pression a la sortie haute du banc , on
fixe après , l’inclinaison de la conduite a une perte de 10% pour la première série
de la mesure , et 20% pour la deuxième série .on fais connecter au différente piézomètre
ou les prises horizontal la pression statique
HS = P/ρg
Et les prises verticale
mesurant la surpression d’arrêt tel que
( Hd =P/ρg +V^2/2g)
On
fixe le débit lorsque on actionne la
pompe en laissent stabiliser l’écoulement (soit 1000 et 1200l/h) enfin on lit
les gradations de la hauteurs d’eau contenu dans chaque piézomètre
on prend comme origine des côte Z,la section
(4) :
Z4=
0 m.
RÉSULTATS :
REPRESENTE GRAPHIQUE DE LA THEOREME DE BERNOULLI FLUIDE
SONS FROTTEMENT.
Représentation graphique de la théorème
de Bernoulli d’un fluide avec frottement
·
pour un débit de 1000l/h est une inclinaison de 10 %.
Prise
de pression
|
HS(cm)
|
HF(cm)
|
Z(cm)
|
HT(cm)
|
ΔH(cm)
|
1
|
35
|
43
|
10.5
|
53.5
|
0
|
2
|
33
|
39.5
|
7
|
46.5
|
7
|
3
|
30
|
36
|
3.5
|
39.5
|
14
|
4
|
28
|
34
|
0
|
34
|
19.5
|
·
pour un débit de 1000(l/h) et
une inclinaison de 20% :
Prise
de pression
|
HS(cm)
|
HF(cm)
|
Z(cm)
|
HT(cm)
|
ΔH(cm)
|
1
|
35
|
47
|
21
|
68
|
0
|
2
|
31
|
42
|
14
|
56
|
12
|
3
|
28
|
38
|
7
|
45
|
23
|
4
|
24.5
|
34
|
0
|
34
|
34
|
·
pour un débit de 1200l/h et une
inclinaison de 10 % :
Prise de pression
|
HS(cm)
|
Hd(cm)
|
Z(cm)
|
HT(cm)
|
ΔH(cm)
|
1
|
40
|
63.5
|
10.5
|
74
|
0
|
2
|
39
|
62.5
|
7
|
69
|
10
|
3
|
35
|
49.5
|
3.5
|
53
|
21
|
4
|
32.5
|
44
|
0
|
44
|
30
|
·
pour un débit de 1200 (l/h) et une inclinaison de 20 % :
Prise
de pression
|
HS(cm)
|
Hd
(cm)
|
Z(cm)
|
HT
(cm)
|
ΔH
(cm)
|
1
|
30
|
50
|
21
|
71
|
7
|
2
|
36.5
|
45
|
14
|
59
|
59
|
3
|
33
|
42
|
7
|
49
|
49
|
4
|
32
|
37
|
0
|
37
|
37
|
·
Deuxième
partie :
Ä mode opératoire :
on
raccord cette fois ci un tube de diamètre Φ= 21.8 mm a la sortie ou du
banc d’es sois, puis on connecte deux prises de pression a deux piézomètre ,
avant de prendre 1 débit différents , et on mesure a chaque fois la hauteur
d’eau contenu dans chaque piézomètre.
Ä Relation fondamentale :
Pour
7 débit qu’on pris pour 2 section (1) et (2) :
On
obtient : -les pertes de charge
entre (1) et (2) : ΔH= H1 – H2
-
le coefficient de Darcy λ : ΔH π^2/16L D^5/Q^2 *2g
-
le nombre de Reynolds Re : Re
= (D v)/υ = 4Q/πDv
Avec :
D= 21.8 mm ; L= 105 cm ; υ= 1 cst.
Ä tableau de mesure :
Q(l/h)
|
H1(cm)
|
H2(cm)
|
ΔH(cm)
|
λ
|
Re
|
Ln λ
|
Ln Re
|
1300
|
87.5
|
80
|
7.5
|
0.0331
|
21091
|
-3.408
|
9.96
|
1250
|
72.5
|
65.5
|
7
|
0.0333
|
20280
|
-3.402
|
9.92
|
1200
|
60.5
|
54
|
6.5
|
0.0335
|
19468
|
-3.396
|
9.88
|
1100
|
46.5
|
41
|
5.4
|
0.0336
|
17982
|
-3.393
|
9.8
|
1050
|
42
|
37
|
5
|
0.0338
|
17035
|
-3.384
|
9.74
|
1000
|
33
|
28.5
|
4.5
|
0.034
|
16224
|
-3.378
|
9.69
|
930
|
29
|
25
|
4
|
0.343
|
1500
|
-3.372
|
9.62
|