Exemples de résolutions d’équations différentielles






Exemples de résolutions d’équations différentielles

1- Définitions
2- Sans second membre (un exemple)
3- Avec second membre (6 exemples)
4- Sans second membre, avec condition initiale (2 exemples )
5- Avec second membre et condition initiale (2 exemples)
6- Exemples de recollements (5 exemples)


1- Définition

Soient I un intervalle de R non réduit à un point. Les fonctions a (et, au besoin, b) sont continues sur I, à valeurs réelles. Alors y′(t) + a(t)y(t) = 0 une équation différentielle linéaire, homogène, du premier ordre ; et y′(t)+a(t)y(t) = b(t) est une équation complète. Notons A une primitive sur I de a ; les solutions de l’équation proposée sont les fonctions .

2- Sans second membre

2.1 Exemple

Résolvons l’´equation différentielle  :  ici, a(t) = 2, donc   .
La solution générale de cette équation est donc  .


3.1 Exemple


Résolvons l’équation différentielle  .
Nous avons a(t) = 2, donc 
Les solutions de l’équation homogène sont les fonctions  .
Il nous reste à déterminer une solution particulière ; celle-ci est de la forme Il vient :
Ceci nous ramène au système échelonné, formé des trois équations 2a = 1, 2(a + b) = −2 et b + 2c = 3.
La résolution nous donne a = 1/2, b = −3/2 et c = 9/4. La forme générale d’une solution est donc

3.2 Exemple

Résolvons l’équation différentielle  avec la condition initiale y(0) = 2.
Nous avons a(t) = 2t, donc  La solution générale de l’équation homogène y′ + 2ty = 0 est donc la fonction
Nous trouvons facilement une solution particulière de l’équation complète : il suffit de prendre  
La solution de l’équation complète est donc

3.3 Exemple

Résolvons l’équation différentielle
Ici, nous avons a(t) = 1, donc
La solution générale de l’équation homogène est visiblement la fonction
Il nous faut maintenant déterminer une solution particulière de l’équation complète ; la méthode de variation de la constante nous donne
La solution complète est donc

3.4 Exemple

Résolvons l’équation différentielle
Ici, nous avons a(t) = −2, donc  Les solutions de l’équation homogène sont visiblement de la forme
Il reste à déterminer une solution particulière ; celle-ci sera de la forme  avec P polynomiale, de degré 2. Notons alors :
Ceci nous mène à a = 1 et b = 1.
Finalement, la solution générale de cette équation est



3.5 Exemple

Nous résolvons l’équation différentielle
La solution générale de l’équation homogène est
 La méthode de variation de la constante s’applique, ici :  La solution de l’équation complète est donc

3.6 Exemple

Nous résolvons l’équation différentielle
L’équation différentielle se réduit à y′(t) − 2ty(t) = 0. Nous avons a(t) = −2t, donc 
La solution générale de l’équation homogène est
Il reste à déterminer une solution particulière de l’équation complète.

4- Sans second membre, avec condition initiale

4.1 Exemple

Résolvons l’équation différentielle  avec la condition initiale y(0) = 2.
Nous avons a(t) = 3, donc La forme générale des solutions est donc
La condition initiale y(0) = 2 impose

4.2 Exemple

Résolvons l’équation différentielle avec la condition initiale y(1) = π.
L’équation est mise sous la forme plus agréable donc
Les solutions sont donc de la forme

5- Avec second membre et condition initiale

5.1 Exemple

Résolvons l’équation différentielle  avec la condition initiale  y(0) = 3.
Observons l’équation homogène y′(t) + ty(t) = 0 : ici, a(t) = t, donc Les solutions sont les fonctions
Si nous cherchons une solution particulière, nous obtenons facilement la solution
Sinon, la condition initiale y(0) = 3 impose comme solution la fonction

5.2 Exemple

Résolvons l’équation différentielle  avec la condition initiale y(0) = 1.
La solution générale de l’équation homogène est
Il reste à déterminer une solution particulière de I ‘équation complète ; elle sera de la forme

6- Exemples de recollements

6.1 Exemple


Résolvons l’équation différentielle
Nous nous ramenons à la résolution des équations avec t < 0, puis avec t > 0.
La solution de l’équation homogène nous donne  Nous distinguerons désormais deux cas de figure.
Si
De la même façon, nous obtenons
Nous constatons que  Donc la restriction de y à ]0,+∞[ est prolongeable à droite de 0 ; nous obtenons y(0) = 0 et y′(0) = 0. La fonction, ainsi prolongée, est dérivable sur IR+.
Un argument analogue nous montre que la restriction de y à ]−∞, 0[ est prolongeable par continuité à gauche de 0. La fonction, ainsi prolongée, est dérivable à gauche de 0.
Finalement, y, ainsi prolongée, est continue et dérivable sur R. Les solutions de l’équation proposée sont de la forme suivante :
Il existe une ≪double≫ infinité de solutions obtenues par recollement.

6.2 Exemple

Résolvons l’équation différentielle Observons que l’équation n’est pas définie sur IR; en revanche, elle est définie sur
Si t < 0, la solution générale est y(t) = λt ; de même, si t > 0, la solution générale est y(t) = μt.
Une solution particulière est obtenue facilement : c’est la solution
Finalement, la solution générale de l’équation différentielle est définie comme suit :  si t < 0, alors y(t) = λt+t² ; si t > 0, alors y(t) = μt + t².
Voyons si les deux ≪morceaux≫ peuvent être raccord´es. Les solutions que nous venons de définir sont continues, respectivement à gauche et à droite de 0 ; donc nous pouvons prolonger y par continuité, en posant y(0) = 0.
Il reste à obtenir la dérivabilité à gauche et à droite de 0 : or celle-ci est obtenue en imposant λ = μ. Concluons : il existe des solutions sur IR, de la forme y(t) = λ t + t².

6.3 Exemple

Résolvons l’équation différentielle  Observons que l’équation est définie sur ]0,+∞[. La condition t > 0 nous est imposée. L’équation homogène s’écrit  sa solution générale est  Pour obtenir une solution particulière, il est raisonnable, au vu de l’équation, de prendre  Alors
La solution générale est
Observons que la solution proposée tend vers 0+ avec t, donc y est prolongeable par continuité à droite de 0, en posant y(0) = 0. Mais  tend vers −∞ lorsque t tend vers 0+. Donc il n’existe pas de solution sur IR+.

6.4 Exemple

Résolvons l’équation différentielle  Nous constatons que cette équation ne peut être résolue que sur chaque intervalle
Limitons-nous au cas où l’intervalle est  donc
La solution générale de l’équation homogène est donc  
Observons que la fonction  Il reste à trouver une solution particulière de l’équation complète. Si nous avons l’œil, la fonction t → −1 convient ! Sinon, nous savons qu’une solution sera de la forme le reste est une question d’identification.

6.5 Exemple

Résolvons l’équation différentielle  Nous nous ramenons à l’équation  Les solutions sont :
Une solution particulière évidente est la fonction y(t) = 1.
La solution générale est donc :  La continuité de y à gauche et à droite de 0 est claire, donc nous pouvons prolonger y en imposant y(0) = 0.
Montrons enfin que la dérivée peut à son tour être prolongée : et

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