Examens Corrigés d'électrostatique




Examen N°1 (➨Voir La solution)

Exercice 1 : Les parties I, II et III sont indépendantes

Partie I

On considère une charge ponctuelle q placée dans le vide à l’origine O du système de coordonnées sphériques de base
1) Donner l’expression du champ électrostatique  crée par cette charge en un point M de l’espace situé à la distance r de O. Exprimer  en fonction du vecteur  
2) Calculer la circulation de  le long d’un contour quelconque limité par deux points A et B.
Soit V(M) le potentiel électrostatique crée en M par la charge q. En déduire la différence de potentiel entre A et B, puis la circulation de  le long d’un contour fermé.

Partie II

On considère deux charges ponctuelles identiques (q > 0) distantes de 2a et placées dans le vide en deux points A(0, a, 0) et B(0, -a, 0) de l’axe
1) Calculer le champ électrostatique  crée par ces deux charges en un point M de la médiatrice de AB. On note O le milieu de AB et on pose :
2) Que devient l’expression de lorsqu’on remplace la charge q en A par –q.

Partie III

Soit un fil AB de longueur L confondu avec l’axe Oz, chargé avec une densité linéique λ uniforme.
1) Calculer le champ électrostatique  crée par ce fil en un point M de la médiatrice de AB.
On note O le milieu de AB et on pose : OM = r. Ecrire E en fonction de la charge totale Q du fil.
2) En déduire le champ  crée par un fil infini.
3) Calculer, à une constante près, le potentiel électrostatique V crée par le fil infini. En déduire la différence de potentiel entre deux points M1 et M2 de la médiatrice de AB.

Exercice 2 : Les parties I et II sont indépendantes

Dans l’espace assimilé au vide, la plan Π (xOy) d’un repère orthonormé direct de base  porte une charge de densité surfacique σ > 0. Le champ électrostatique crée par cette distribution en tout point M de l’espace est :

Partie I

1) Calculer le potentiel électrostatique V(M) dans les deux régions z > 0 et z < 0. On donne :

V (z = 0) = 0 .
2) On superpose au plan précédent à la distance z = d > 0, un plan Π1 uniformément chargé avec une densité (-σ).
    a) En utilisant le principe de superposition, déterminer le champ électrostatique dans les trois régions : z > d, 0 < z < d et z < 0.
    b) En déduire le potentiel électrostatique V(M) dans les trois régions : z ≥ d, 0 ≤ z ≤ d et z ≤ 0. On donne : V (z = 0) = 0 .
3) Représenter E(M) et V(M) en fonction de z. Commenter ces courbes.

Partie II

A la distance z = d > 0, le plan Π1 est remplacé par une demi-sphère de rayon R qui pose sur un disque de même rayon E et d’épaisseur très faible. La demi-sphère et le disque ne porte aucune charge (figure 1).

Figure 1
Calculer le flux Φ du champ électrostatique crée par le plan Π à travers la surface fermée formée par la demi-sphère et le disque.
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Examen N°2 (➨Voir La solution)

Problème d’électrostatique


Les parties 1 et 2 sont dépendantes.
Dans tout ce problème l'espace sera rapporté à un repère orthonormé direct et un point quelconque M de l'espace sera repéré par ses coordonnées cartésiennes (x, y, z).

Partie 1 : Une lame chargée en volume

On considère une lame chargée en volume limitée par les plans d'équations respectives x = -h et x = +h (où e est une constante positive désignant l’épaisseur de la lame) et infinie dans les directions de Oy et de Oz (figure 1).
La lame est chargée uniformément en volume avec une densité ρ positive. Soit  et V1(M) le champ et le potentiel électrostatiques créés en M par cette distribution de charges.

1) De quelles variables d'espace, le potentiel V1(M) dépend t-il ?
2) Déduire la forme des surfaces équipotentielles et des lignes de champ.
3) Montrer que
4) Calculer le champ à l'aide du théorème de Gauss en tout point M de l'espace.
5) Déduire le potentiel V1(M). On prendra V1(0, 0, 0) = 0.
6) Tracer les courbes de variations de E1 et V1 en fonction de z.
7) On se place dans le cas où l'épaisseur 2h est "très faible". La distribution de charges est alors assimilée au plan (Oxy) chargé surfaciquement avec une densité uniforme σ.
    a) Exprimer la densité surfacique σ en fonction de ρ et h.
    b) Déduire l'expression du champ et du potentiel électrostatiques créés par le plan chargé.
    c) Tracer les courbes de variations de en fonction de z.
8) Une distribution de charges sur un plan infini ou dans une tranche infinie peut-elle exister dans la réalité?

Partie 2 : Deux lames de charges opposées

On considère maintenant la distribution de charges représentée sur la figure 2 comprenant deux lames (I et II) infinies dans les directions y et z, d’épaisseur 2h, centrées en A et A’, d'abscisses respectives +a et -a ( a > h ), et de charges volumiques uniformes ρ et - ρ. On désigne par le champ électrostatique crée par la lame de centre A et celui crée par la lame de centre A’.

1) a) Montrer que le plan x = 0 est un plan de symétrie impair pour les deux lames.
     b) En déduire que le champ crée par les deux lames est une fonction paire de x :
2) a) Donner les expressions de EI (M) et EII (M) dans les trois cas suivants :
cas a) : x ≥ a + h , cas b) : a − h ≤ x ≤ a + h et cas c) 0 ≤ x ≤ a − h .
    b) Déterminer les expressions du champ résultant dans les trois cas a), b) et c).
    c) Tracer alors l’allure de  en fonction de x.
3) a) Montrer que où  est le potentiel associé aux deux lames.
    b) Donner les expressions de dans les trois cas a), b) et c).
    c) tracer l’allure de  en fonction de x.
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Examen N°3 (➨Voir La solution)

L’espace physique est rapporté à un repère orthonormé direct Un point M de l’espace est repéré dans la base cylindrique par (r, θ, z).

Problème


A/ On considère un cylindre creux (S) de rayon R, de longueur infinie, chargé en surface par une densité surfacique de charges uniforme σ > 0 (figure 1). Soit M un point quelconque de l’espace.
1) Indiquer les coordonnées dont dépend le champ électrostatique et déterminer sa direction.
2) a) Définir et justifier la surface de Gauss.
    b) Déterminer le champ en tout point M de l’espace (r < R et r > R).
3) a) Tracez l’allure de E(r) en fonction de r (où E(r) est la norme du champ).
    b) Le champ est-il continu à la traversée de la surface du cylindre.
4) En prenant comme référence du potentiel V(r = 0) = V0, calculez le potentiel V(r) en tout point M de l’espace.
5) a) Tracez l’allure de V(r) en fonction de r.
    b) Vérifier que le potentiel V(r) est continu à la traversée du cylindre.

B/ Une couronne cylindrique (C) d’axe  et de rayon intérieur R1 et extérieur R de longueur infinie, porte une charge volumique répartie entre les surfaces des deux cylindres avec une densité constante ρ > 0 (figure 2).
6) Précisez les invariances du champ électrostatique et déterminer sa direction.
7) a) En utilisant le théorème de Gauss, donner les expressions du champ électrostatique en tout point M de l’espace.
    b) Le champ est-il continu à la traversée des deux surfaces de la couronne cylindrique (C).
8) On fait tendre R1 → R, la charge totale de la distribution volumique de la couronne cylindrique est alors répartie sur la surface d’un cylindre creux de longueur infinie et de rayon R. Soit σ la densité de charges du cylindre creux.
    a) Exprimer σ en fonction de ρ, R1 et R.
    b) Retrouver les expressions de crée par un cylindre creux.
9) On se place maintenant dans le cas où R1 = 0 et on suppose que le rayon R est négligeable devant la longueur du cylindre chargé. La charge totale de la distribution volumique peut être considérée répartie uniformément sur un fil infini. On désigne par λ la densité linéique du fil.
    a) Exprimer λ en fonction de ρ et R.
    b) En déduire l’expression du champ crée par le fil.
    c) Retrouver crée par un fil de longueur infinie à partir du théorème de Gauss.
    d) En déduire l’expression du potentiel V(M) crée par le fil infini à une constante additive près qu’on notera K.

C/ On considère deux C/ On considère deux fils rectilignes, de longueurs infinies, portant des distributions linéiques de charges de densités constantes +λ et −λ (λ > 0). Ces deux fils sont parallèles entre eux et perpendiculaire au plan (Oxy). On désigne par A(-a/2, 0) et B(+a/2, 0) les intersections respectives du fil chargé ( −λ ) et celui chargé à ( +λ ) avec le plan (Oxy).
L’origine O du repère (Oxy) est le milieu de AB (AB = a), (figure 3). Soit M un point du plan (Oxy) repéré en coordonnées polaires par (r, θ) avec r = OM et .
On désigne par V(M) et respectivement le potentiel et le champ électrostatique crées par les deux fils en un point M très éloigné des fils : r >> a .
10) En utilisant les résultats de B-9-d), donner les expressions du potentiel crée par le fil en A et du potentiel  crée par le fil en B (à constante additive près).
11) Sachant que le point O est pris comme origine du potentiel : V(O) = 0 , en déduire l’expression du potentiel V(M) crée par les deux fils.
12) Dans le cadre de l’approximation dipolaire (r >> a), exprimer les distances AM et BM en fonction de r, a et θ.
13) a) Montrer que :
       b) Montrer que les deux fils chargés se comportent comme un dipôle électrostatique isolé dont on précisera le moment dipolaire p .
14) En déduire les composantes radiale et orthoradiale du champ électrostatique , son module et sa direction.

On donne :


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